Teste a série quanto a convergência ou divergência.
23. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2n+1)!}.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão, que costuma ser eficiente quando há fatoriais e potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{2^{n}}{(2n+1)!}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{2^{\,n+1}}{(2(n+1)+1)!}}{\displaystyle \frac{2^{n}}{(2n+1)!}} = \frac{2^{n+1}}{2^{n}} \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} = 2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite dessa razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{(2n+2)(2n+3)} = 0.
Como L < 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{(2n+1)!}
é absolutamente convergente e, portanto, convergente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo Teste da Razão).

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