Um teste de tração é realizado em uma amostra de metal e verifica-se que uma deformação plástica verdadeira de 0,20 é produzida quando uma tensão verdadeira de 575 MPa é aplicada; para o mesmo metal, o valor de K é 860 MPa . Calcule a deformação verdadeira que resulta da aplicação de uma tensão verdadeira de 600 MPa.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (já peguei os números do enunciado) e pede uma deformação verdadeira:
  • Deformação verdadeira conhecida: \epsilon_1 = 0,20.
  • Tensão verdadeira correspondente: \sigma_1 = 575\\ \text{MPa}.
  • Constante do material: K = 860\\ \text{MPa}.
  • Quer-se encontrar a deformação verdadeira \epsilon_2 quando a tensão verdadeira é \sigma_2 = 600\\ \text{MPa}.
O que precisa ser calculado: o valor de \epsilon_2 (deformação verdadeira) associado a \sigma_2 = 600\\ \text{MPa}.

Passo 2

Qual equação física/modelo usamos e o que significam as letras.
Para muitos metais na região de encruamento a relação entre tensão verdadeira e deformação verdadeira é dada pela lei de Hollomon:
\sigma = K\,\epsilon^{n},
onde:
  • \sigma é a tensão verdadeira (unidade: MPa aqui),
  • K é a constante de resistência do material (unidade: MPa),
  • \epsilon é a deformação verdadeira (adimensional),
  • n é o expoente de encruamento (adimensional).
Essa equação diz que, depois do escoamento, a tensão aumenta com a deformação segundo uma potência. Para achar n e \epsilon usamos logaritmos, porque a potência fica linear em escala logarítmica:
\ln\sigma = \ln K + n\,\ln\epsilon.

Passo 3

Determinar o expoente n usando o ponto conhecido (\epsilon_1,\sigma_1).
Partindo de \sigma_1 = K\,\epsilon_1^{n}, isolamos n:
\epsilon_1^{n} = \dfrac{\sigma_1}{K} \quad\Rightarrow\quad n = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{\sigma_1}{K}\right)}{\ln\!\left(\epsilon_1\right)}.
Agora substituímos os números (tudo em TeX):
\dfrac{\sigma_1}{K}=\dfrac{575}{860}\approx 0,6686046512,
\ln\!\left(\dfrac{\sigma_1}{K}\right)\approx \ln(0,6686046512)\approx -0,402535\!,
\ln(\epsilon_1)=\ln(0,20)\approx -1,609438.
Portanto
n \approx \dfrac{-0,402535}{-1,609438}\approx 0,25015.
Interpretação curta: o expoente n ficou cerca de 0{,}250 (valor típico para alguns metais é entre 0 e 0,5 — aqui é pequeno, sinal de encruamento moderado).

Passo 4

Calcular \epsilon_2 para \sigma_2=600\\ \text{MPa} usando a mesma lei.
Da lei \sigma_2 = K\,\epsilon_2^{n} temos
\epsilon_2 = \left(\dfrac{\sigma_2}{K}\right)^{1/n}.
Substituindo valores:
\dfrac{\sigma_2}{K}=\dfrac{600}{860}\approx 0,6976744186,
tomando logaritmo para facilitar o cálculo:
\ln\!\left(\dfrac{\sigma_2}{K}\right)\approx \ln(0,6976744186)\approx -0,360000\!,
e usando n\approx 0,25015,
\ln(\epsilon_2)=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{\sigma_2}{K}\right)}{n}\approx \dfrac{-0,360000}{0,25015}\approx -1,4390.
Agora exponenciando,
\epsilon_2 \approx e^{-1,4390}\approx 0,2370.
Portanto a deformação verdadeira que corresponde a \sigma_2=600\\ \text{MPa} é aproximadamente 0{,}237. Note que isso faz sentido: ao aumentar a tensão de 575 para 600 MPa a deformação verdadeira sobe de 0{,}20 para cerca de 0{,}237.

Passo 5

Resumo didático do procedimento (como aplicar na prova, passo a passo rápido):
  1. Usar a lei \sigma=K\epsilon^{n}.
  2. Com um ponto conhecido (\epsilon_1,\sigma_1) e K, calcular n por n=\dfrac{\ln(\sigma_1/K)}{\ln(\epsilon_1)}.
  3. Com esse n, encontrar \epsilon_2 por \epsilon_2=(\sigma_2/K)^{1/n}.
  4. Fazer os cálculos com logaritmos para evitar elevar potências manualmente; use aproximações com 3–4 algarismos significativos.
Força aí — é chato no começo, mas esse roteiro resolve qualquer questão desse tipo.

Resposta

\epsilon_2 \approx 0,237

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