Testes batelada foram realizados no laboratório usando soluções de corante em água e partículas de carvão ativado. Os dados de equilíbrio à temperatura ambiente estão apresentadas abaixo. Determine os parâmetros das isotermas de Langmuir e Freundlich e a capacidade máxima de adsorção segundo a isoterma de Langmuir.
C (mg corante/L solução) q (mg corante/g carvão)
0 0
10 9
50 20,5
100 28,8
200 35,2
300 37,8
500 39,1

Passo 1

O enunciado pede: determinar os parâmetros das isotermas de Langmuir e de Freundlich a partir dos dados de equilíbrio e, a partir da isoterma de Langmuir, dar a capacidade máxima de adsorção.
Peguei os dados da tabela do enunciado (concentração em mg/L e sorção em mg/g). Os pontos de equilibrio usados (excluindo o ponto trivial C=0,\; q=0) são:
  • C=10, q=9
  • C=50, q=20{,}5
  • C=100, q=28{,}8
  • C=200, q=35{,}2
  • C=300, q=37{,}8
  • C=500, q=39{,}1
O que vou encontrar:
  • Parâmetros da isoterma de Langmuir: q_m (capacidade máxima) e K_L (constante de afinidade).
  • Parâmetros da isoterma de Freundlich: K_F e n.

Passo 2

Isoterma de Langmuir: apresentação da fórmula e linearização.
A forma não linear é
q=\frac{q_m K_L C}{1+K_L C},
onde
  • q é a quantidade adsorvida no equilíbrio (mg/g),
  • C é a concentração em solução no equilíbrio (mg/L),
  • q_m é a capacidade máxima de adsorção (mg/g),
  • K_L é a constante de Langmuir (L/mg).
Uma linearização muito usada (prática para ajustar por regressão linear) é a forma
\frac{C}{q}=\frac{1}{q_m K_L}+\frac{1}{q_m}\,C.
Nessa forma, se definirmos y=\dfrac{C}{q} e x=C, temos uma reta y = b + m x com
m=\frac{1}{q_m},\qquad b=\frac{1}{q_m K_L}.
Logo, fazendo regressão linear de \dfrac{C}{q} contra C obtemos m e b e daí q_m e K_L.

Passo 3

Montagem da tabela para Langmuir (calculei \dfrac{C}{q} para cada ponto):
Os dados (peguei-os da tabela) e \dfrac{C}{q}:
  • C=10,\; q=9 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{10}{9}=1{,}111111
  • C=50,\; q=20{,}5 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{50}{20{,}5}=2{,}439024
  • C=100,\; q=28{,}8 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{100}{28{,}8}=3{,}472222
  • C=200,\; q=35{,}2 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{200}{35{,}2}=5{,}681818
  • C=300,\; q=37{,}8 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{300}{37{,}8}=7{,}936508
  • C=500,\; q=39{,}1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{C}{q}=\dfrac{500}{39{,}1}=12{,}787742
Agora aplico a fórmula de regressão linear simples (mínimos quadrados) para os pares (x_i=C_i,\; y_i=C_i/q_i). Vou calcular as somas necessárias:
N=6,
\sum x_i = \sum C_i = 10+50+100+200+300+500 = 1160,
\sum y_i = \sum \frac{C_i}{q_i} \approx 33{,}428426,
\sum x_i^2 = \sum C_i^2 = 10^2+50^2+100^2+200^2+300^2+500^2 = 392600,
\sum x_i y_i = \sum C_i\frac{C_i}{q_i} = \sum \frac{C_i^2}{q_i} \approx 10391{,}461699.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes da regressão linear (Langmuir).
A fórmula dos coeficientes é
m=\frac{N\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{N\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - m\sum x_i}{N}.
Substituindo os valores numéricos:
m\approx\frac{6\cdot 10391{,}461699 - 1160\cdot 33{,}428426}{6\cdot 392600 - 1160^2} \approx\frac{62348{,}770194 - 38776{,}973977}{2355600 - 1345600} \approx\frac{23571{,}796217}{1010000} \approx 0{,}02333544.
b\approx\frac{33{,}428426 - 0{,}02333544\cdot 1160}{6} \approx\frac{33{,}428426 - 27{,}067717}{6} \approx\frac{6{,}360709}{6} \approx 1{,}060118.

Passo 5

Extração dos parâmetros de Langmuir e interpretação.
Lembrando que
m=\frac{1}{q_m},\qquad b=\frac{1}{q_m K_L}.
Logo,
q_m=\frac{1}{m}\approx\frac{1}{0{,}02333544}\approx 42{,}86\\ \text{mg/g},
K_L=\frac{1}{q_m b}\approx\frac{1}{42{,}86\cdot 1{,}060118}\approx 0{,}0220\\ \text{L/mg}.
Interpretação simples: q_m é a capacidade máxima prevista pela isoterma de Langmuir (monolayer ideal) e K_L indica afinidade (maior K_L → maior afinidade).

Passo 6

Isoterma de Freundlich: apresentação da fórmula e linearização.
A forma não linear é
q=K_F C^{1/n},
onde
  • K_F é a constante de capacidade (unidades dependem de n),
  • n é um expoente que indica intensidade de adsorção.
A linearização pela logaritmo natural é
\ln q = \ln K_F + \frac{1}{n}\,\ln C.
Definindo Y=\ln q e X=\ln C, ajustamos uma reta Y = a + b X onde
b=\frac{1}{n},\qquad a=\ln K_F.

Passo 7

Montagem da tabela \ln C e \ln q (peguei os C e q da tabela do enunciado):
Valores calculados:
  • C=10: \ln C=2{,}302585, \ln q=\ln 9=2{,}197225
  • C=50: \ln C=3{,}912023, \ln q=\ln 20{,}5=3{,}020425
  • C=100: \ln C=4{,}605170, \ln q=\ln 28{,}8=3{,}360375
  • C=200: \ln C=5{,}298317, \ln q=\ln 35{,}2=3{,}561046
  • C=300: \ln C=5{,}703782, \ln q=\ln 37{,}8=3{,}632309
  • C=500: \ln C=6{,}214608, \ln q=\ln 39{,}1\approx 3{,}666185
Agora calculo as somas necessárias para a regressão linear de \ln q sobre \ln C:
\sum X = \sum \ln C \approx 28{,}036486,
\sum Y = \sum \ln q \approx 19{,}437565,
\sum X^2 = \sum (\ln C)^2 \approx 141{,}06349,
\sum X Y = \sum (\ln C)(\ln q) \approx 94{,}718015.

Passo 8

Cálculo dos coeficientes da regressão linear (Freundlich).
Formulas:
b=\frac{N\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{N\sum X^2 - (\sum X)^2}, \qquad a=\frac{\sum Y - b\sum X}{N}.
Substituindo:
b\approx\frac{6\cdot 94{,}718015 - 28{,}036486\cdot 19{,}437565}{6\cdot 141{,}06349 - (28{,}036486)^2} \approx\frac{568{,}30809 - 544{,}95998}{846{,}38094 - 786{,}04433} \approx\frac{23{,}34811}{60{,}33661} \approx 0{,}3869.
a\approx\frac{19{,}437565 - 0{,}3869\cdot 28{,}036486}{6} \approx\frac{19{,}437565 - 10{,}8473}{6} \approx\frac{8{,}590265}{6} \approx 1{,}43171.

Passo 9

Extração dos parâmetros de Freundlich e interpretação.
Lembrando que b=\dfrac{1}{n} e a=\ln K_F. Assim:
\frac{1}{n}=b\approx 0{,}3869 \quad\Rightarrow\quad n\approx \frac{1}{0{,}3869}\approx 2{,}58,
\ln K_F = a \approx 1{,}43171 \quad\Rightarrow\quad K_F = e^{1{,}43171}\approx 4{,}18.
Interpretação: n>1 (aqui n\approx 2{,}58) indica adsorção favorável; K_F é um indicativo de capacidade em concentrações baixas.

Passo 10

Resumo final (arredondado com precisão prática para ensaio laboratorial):
Langmuir:
  • q_m \approx 42{,}9\\ \text{mg/g}
  • K_L \approx 0{,}0220\\ \text{L/mg}
Freundlich:
  • K_F \approx 4{,}18 (unidade: (\text{mg/g})/(\text{mg/L})^{1/n})
  • n \approx 2{,}58
Observação rápida e encorajamento: os cálculos acima usam linearizações e mínimos quadrados; em prova é normal fazer os somatórios e aplicar as fórmulas de regressão como fiz aqui — pratique uma vez que fica bem mecânico. Força aí, você consegue!

Resposta

Langmuir: q_m=42{,}9\\ \text{mg/g},\; K_L=0{,}0220\\ \text{L/mg}
Freundlich: K_F=4{,}18,\; n=2{,}58
Capacidade máxima (Langmuir): q_m=42{,}9\\ \text{mg/g}

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