Um secador de túnel em contracorrente é usado para secar 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de um vegetal de 85 \% até 15 \% de umidade base umida. Ar entra a 20^{\circ} \mathrm{C}, 50 \% de UR é aquecido até 32 { }^{\circ} \mathrm{C}, percorre o secador e sai com 90 \% de UR. Calcule a vazão de ar seco e a vazão volumétrica de ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados do vegetal e da corrente de entrada:
    • Vazão de entrada do vegetal (massa úmida): \dot{m}_{\text{veg, in}} = 500\\ \mathrm{kg/h}.
    • Umidade inicial (base úmida): w_i = 85\% (ou seja 0{,}85 em fração).
    • Umidade final desejada (base úmida): w_f = 15\% (ou seja 0{,}15 em fração).
  • Dados do ar e do processo:
    • Ar entra à 20^\circ\mathrm{C} com 50\% de UR (umidade relativa).
    • Ar é aquecido a 32^\circ\mathrm{C} antes de entrar no secador.
    • Ar sai do secador com 90\% de UR.
    • Pressão atmosférica assumida (padrão): P = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} (assumo 1 atm, pois não foi dado).
  • O que pedem:
    1. A vazão mássica de ar seco necessária (kg de ar seco por hora).
    2. A vazão volumétrica de ar (m³/h). Vou calcular a vazão volumétrica na condição de entrada do ar ( 20^\circ\mathrm{C}, P = 1 atm), que é o mais comum em problemas de projeto quando não especificado.

Passo 2

Primeiro determinar quanto de água precisa ser evaporada por hora (é essa água que o ar precisa carregar).
Explicação breve do conceito: em um secador o material tem massa de sólidos secos que não muda. Ao secar, diminui a massa total por perda de água. Trabalhar com fração de umidade na base úmida significa que a massa de água é w vezes a massa total úmida.
Calcular massa de sólidos secos (constante ao longo do processo):
\dot{m}_{\text{sec}} = (1 - w_i)\,\dot{m}_{\text{veg, in}}.
Substituindo:
\dot{m}_{\text{sec}} = (1 - 0{,}85)\times 500 = 0{,}15\times 500 = 75\\ \mathrm{kg/h}.
Agora determinar a massa total do produto seco (após secagem) usando w_f. Se \dot{m}_{\text{out}} é a massa úmida de produto final,
w_f = \frac{\text{massa de água final}}{\dot{m}_{\text{out}}} \quad\text{e}\quad \dot{m}_{\text{out}} = \dot{m}_{\text{sec}} + \text{massa de água final}.áá
Melhor caminho algébrico direto: dado que \dot{m}_{\text{sec}} = (1-w_f)\dot{m}_{\text{out}}, temos
\dot{m}_{\text{out}} = \frac{\dot{m}_{\text{sec}}}{1 - w_f} = \frac{75}{1 - 0{,}15} = \frac{75}{0{,}85} = 88{,}235294\\ \mathrm{kg/h}.
Então a massa de água final é
\dot{m}_{\text{H2O, final}} = w_f\,\dot{m}_{\text{out}} = 0{,}15\times 88{,}235294 = 13{,}235294\\ \mathrm{kg/h}.
Massa de água inicial:
\dot{m}_{\text{H2O, in}} = w_i\,\dot{m}_{\text{veg, in}} = 0{,}85\times 500 = 425\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto, massa de água removida (evaporada) por hora:
\dot{m}_{\text{evap}} = \dot{m}_{\text{H2O, in}} - \dot{m}_{\text{H2O, final}} = 425 - 13{,}235294 = 411{,}764706\\ \mathrm{kg/h}.
Resumo até aqui: é preciso evaporar \dot{m}_{\text{evap}} \approx 411{,}765\\ \mathrm{kg/h} de água.

Passo 3

Agora relacionar essa água evaporada com a capacidade do ar em carregar vapor: usamos a diferença de razão de mistura (umidade absoluta) do ar entre saída e entrada.
Conceitos e fórmula:
  • A razão de mistura (ou razão de massa de vapor por massa de ar seco) é \,y e vale
y = 0{,}622\;\frac{p_v}{P - p_v},
onde p_v é a pressão parcial do vapor de água (kPa) e P é a pressão total (kPa). O número 0{,}622 é a razão entre constantes molares (aproximadamente M_{\text{H2O}}/M_{\text{ar seco}} invertida).
  • Para umidade relativa ( \mathrm{UR}) e pressão de saturação p_{\text{sat}}(T), temos p_v = \mathrm{UR}\times p_{\text{sat}}(T) (UR em fração).
Vou usar valores padrão para pressão de saturação do vapor:
  • p_{\text{sat}}(20^\circ\mathrm{C}) \approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
  • p_{\text{sat}}(32^\circ\mathrm{C}) \approx 4{,}759\\ \mathrm{kPa}.
(essas são tabelas de vapor saturado; usar esses valores é comum em exercícios. Se em prova der tabela, usar a tabela.)
Calcular y_{\text{in}} (entrada: 20^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}=50\%=0{,}5):
p_{v,\text{in}} = 0{,}5\times 2{,}338 = 1{,}169\\ \mathrm{kPa}.
y_{\text{in}} = 0{,}622\;\frac{1{,}169}{101{,}325 - 1{,}169} = 0{,}622\;\frac{1{,}169}{100{,}156}.
Faço a conta:
0{,}622\times 1{,}169 = 0{,}726? \quad\Rightarrow\quad y_{\text{in}} \approx \frac{0{,}726}{100{,}156}\approx 0{,}007253\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco}.
Calcular y_{\text{out}} (saída: 32^\circ\mathrm{C}, \mathrm{UR}=90\%=0{,}9):
p_{v,\text{out}} = 0{,}9\times 4{,}759 = 4{,}2831\\ \mathrm{kPa}.
y_{\text{out}} = 0{,}622\;\frac{4{,}2831}{101{,}325 - 4{,}2831} = 0{,}622\;\frac{4{,}2831}{97{,}0419}.
Cálculo:
0{,}622\times 4{,}2831 \approx 2{,}6633 \quad\Rightarrow\quad y_{\text{out}} \approx \frac{2{,}6633}{97{,}0419} \approx 0{,}027449\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco}.
Diferença de razão de mistura disponível por kg de ar seco:
\Delta y = y_{\text{out}} - y_{\text{in}} \approx 0{,}027449 - 0{,}007253 = 0{,}020196\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco}.
Interpretação: cada kg de ar seco que atravessa o secador absorve, nesse processo e nessas condições, cerca de 0{,}02020\\ \mathrm{kg} de água.

Passo 4

Calcular a vazão mássica de ar seco necessária usando balanço de massa de água:
\dot{m}_{\text{evap}} = \dot{m}_{\text{ar seco}}\times \Delta y \quad\Rightarrow\quad \dot{m}_{\text{ar seco}} = \frac{\dot{m}_{\text{evap}}}{\Delta y}.
Substituindo os números:
\dot{m}_{\text{ar seco}} = \frac{411{,}764706}{0{,}020196} \approx 20{,}387\\ \mathrm{kg/h}.
(Faço arredondamento final com sentido prático:) \dot{m}_{\text{ar seco}} \approx 20{,}390\\ \mathrm{kg/h}.
Observação: esse número é grande porque estamos evaporando muita água por hora; é comum em processos industriais.

Passo 5

Converter vazão mássica de ar seco para vazão volumétrica na condição de entrada ( 20^\circ\mathrm{C}, P = 1 atm).
Usarei a equação do gás ideal para o ar seco (e o volume específico do ar seco). A constante de gás específico para o ar seco é R_{\text{ar}} \approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Temperatura absoluta de entrada:
T_{\text{in}} = 20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 20 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Volume específico do ar seco (m³/kg):
v_{\text{ar}} = \frac{R_{\text{ar}}\,T_{\text{in}}}{P} = \frac{287{,}05\times 293{,}15}{101{,}325} \quad\text{(com \(P\) em kPa convertido para Pa)}.
Use P = 101{,}325\\ \mathrm{kPa} = 101{,}325\\ \mathrm{Pa} no SI (já consistente com R em J). Calculando:
v_{\text{ar}} \approx 0{,}8304\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Verificação rápida: isso corresponde a densidade \rho \approx 1/0{,}8304 \approx 1{,}204\\ \mathrm{kg/m^3}, que é o valor conhecido para ar a 20^\circ\mathrm{C}.)
Então a vazão volumétrica de ar seco (na entrada) é
\dot{V}_{\text{ar}} = \dot{m}_{\text{ar seco}} \times v_{\text{ar}} \approx 20{,}387\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}8304\\ \mathrm{m^3/kg}.
\dot{V}_{\text{ar}} \approx 16{,}930\\ \mathrm{m^3/h}.
Pequena observação prática (não altera muito o resultado): se quiser a vazão de ar úmido (incluindo o vapor que o ar carrega), basta multiplicar a massa total de ar úmido \dot{m}_{\text{ar úmido}}=\dot{m}_{\text{ar seco}}(1+y_{\text{in}})ú, mas a diferença volumétrica é muito pequena (porcentagem de y_{\text{in}}\sim 0{,}7\%). Para a maioria dos projetos iniciais a vazão volumétrica calculada com o ar seco é aceitável.

Resposta

\dot{m}_{\text{ar seco}} \approx 20{,}390\\ \mathrm{kg/h}
\dot{V}_{\text{ar}} \approx 16{,}930\\ \mathrm{m^{3}/h}

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