5^{\text {a }} ) Um corpo de 3,0 \mathrm{~kg} move-se ao longo de uma trajetória retilínea, cuja equação horária da posição é dada por:
r(t)=5+4 t-t^{2}
onde ré medidio em metros e tèm segundos.
Considerando o movimento ao longo de um eixo retilíneo e que a força resultante é constante, determine a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo, em newtons.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Massa do corpo: m=3{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Equação horária da posição (movimento unidimensional): r(t)=5+4t-t^{2}, com r em metros e t em segundos.
  • Informação adicional: a força resultante é constante.
  • Pergunta: determinar a intensidade da força resultante que atua sobre o corpo, em newtons.

Passo 2

Plano para resolver (explicado devagarinho, como num chuveiro de ideias):
  • A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração por \vec{F}=m\vec{a}. Para obter a força precisamos da aceleração.
  • A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo: \displaystyle a(t)=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}.
  • Então vamos derivar r(t) uma vez para obter a velocidade v(t) e outra vez para obter a aceleração a(t).
  • Regras de derivação usadas (explicação rápida): a derivada de uma constante é zero; a derivada de k t é k; a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.

Passo 3

Calcular a velocidade como primeira derivada de r(t).
  • Derivando termo a termo:
    • \dfrac{d}{dt}(5)=0.
    • \dfrac{d}{dt}(4t)=4.
    • \dfrac{d}{dt}(-t^{2})=-2t.
  • Portanto a velocidade é
v(t)=r'(t)=4-2t.

Passo 4

Calcular a aceleração como segunda derivada de r(t).
  • Derivando v(t)=4-2t:
    • \dfrac{d}{dt}(4)=0.
    • \dfrac{d}{dt}(-2t)=-2.
  • Logo a aceleração é
a(t)=v'(t)=r''(t)=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação importante: a(t) é constante e igual a -2\\ \mathrm{m/s^{2}}, o que faz sentido porque o enunciado afirmou que a força resultante é constante.

Passo 5

Aplicar a segunda lei de Newton e obter a intensidade da força.
  • A segunda lei vetorial é \vec{F}=m\vec{a}.
  • A intensidade (módulo) da força é F=m\,|a|.
  • Substituindo m=3{,}0\\ \mathrm{kg} e |a|=2\\ \mathrm{m/s^{2}}:
F=3{,}0\times 2=6{,}0\\ \mathrm{N}.
Comentário final: o sinal negativo de a indica que a aceleração é no sentido negativo do eixo; como a pergunta pediu a intensidade da força, tomou-se o valor positivo 6{,}0\\ \mathrm{N}.

Resposta

6{,}0\\ \mathrm{N}

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