Questão (20) Uma asa delgada de 120 cm de comprimento (corda) e 10 m de largura (envergadura) move-se a
no ar a
. Aplicando a teoria da placa plana lisa com um número de Reynolds de transição
, calcule o arrasto de atrito total e a potência necessária para vencê-lo. Calcule a espessura total das camadas-limites no bordo de fuga da asa. Despreze os gradientes de pressão e as assimetrias de incidência e arqueamento e modele as superficies superior e inferior da asa como duas placas planas idênticas paralelas ao escoamento.
Passo 1
O enunciado dá uma asa modelada como duas placas planas idênticas (superior e inferior) paralelas ao escoamento. Dados fornecidos (todos os números aparecerão em fórmulas abaixo em notação TeX):
- comprimento da corda:
. - envergadura (largura da placa):
. - velocidade relativa do ar:
. - temperatura/condições: densidade
, viscosidade absoluta . - número de Reynolds de transição dado:
.
O que a questão pede:
- Calcular o arrasto de atrito total (ou seja, a força de arrasto viscosa sobre ambas as faces da asa).
- Calcular a potência necessária para vencer esse arrasto (potência = arrasto × velocidade).
- Calcular a espessura total das camadas-limites no bordo de fuga da asa (ou seja, soma das espessuras nas duas faces, no
).
Observação: desprezar gradientes de pressão e assimetrias; modelar cada face como uma placa plana com escoamento em direção ao eixo(do bordo de ataque ao bordo de fuga ). A resolução começa agora.
Passo 2
Converter unidades e calcular quantidades básicas que serão usadas.
- Converter velocidade:
- viscosidade cinemática:
- número de Reynolds baseado na corda
:
- dinâmica de pressão (pressão dinâmica):
- posição de transição
obtida por , logo
Verificação rápida:
, então há uma região laminar (de
até
) seguida por uma região turbulenta (de
até
).
Passo 3
Apresentar as fórmulas de atrito de superfície para placas planas e explicá-las (essas são fórmulas empíricas clássicas usadas em provas).
- Definições:
-
é a distância desde o bordo de ataque (m). -
é o número de Reynolds local. -
é o coeficiente de atrito local (adimensional). - Para uma placa de largura
e extensão no de a , a força de atrito é
pois é a pressão dinâmica e é a área elementar. -
- Fórmulas para
: - Região laminar (perfil de Blasius, fluxo laminar sobre placa lisa):
e a média sobre até (para força integrada) é - Região turbulenta (perfil empírico de von Kármán—Prandtl para placa lisa, fluxo plenamente turbulento):
Essa expressão pode ser integrada em explicitamente porque , veremos no próximo passo.
Explicação intuitiva: em laminardecai como (camada-limite cresce rápido), já em turbulento decai menos rápido como (camada-limite é mais espessa mas o atrito local diminui mais lentamente).
Passo 4
Calcular a contribuição laminar ao arrasto (região
).
- Use a média laminar até
:
- Área molhada dessa porção por face:
. - Força de atrito laminar por face:
- Duas faces (superior + inferior):
Passo 5
Calcular a contribuição turbulenta ao arrasto (região
) integrando
.
- Escrever
- Integração:
portanto
- Avaliando numericamente:
- calcular
e :
- calcular
- então a integral vale aproximadamente
- calcular
- Força de atrito turbulenta por face:
- Duas faces:
Passo 6
Somar contribuições laminar e turbulenta para obter o arrasto total e calcular a potência necessária.
- Arrasto total:
- Potência necessária para vencer esse arrasto (potência mecânica do fluxo de propulsão no ar) é
Passo 7
Calcular espessura da camada-limite no bordo de fuga e espessura total (duas faces).
- Fórmulas empíricas para espessura de 99% da camada-limite (
): - Região laminar (Blasius):
- Região turbulenta (empírico):
- Avaliar espessura na borda de fuga
. Como a maior parte do desenvolvimento até está em regime turbulento (transição em m), a espessura em é dominada pela lei turbulenta; calculamos ambos para comparação. - espessura laminar em
:
- espessura turbulenta estimada em
:
- espessura laminar em
- A espessura na borda de fuga por face é, portanto, aproximadamente
. A espessura total (soma superior + inferior) é
Comentário: a contribuição laminar inicial é desprezível em relação à espessura turbulenta no bordo de fuga; usei a fórmula turbulenta em
como aproximação prática (abordagem padrão em problemas de placa plana com transição curta).
Resposta
Arrasto total
Potência necessária
Espessura total das camadas-limites no bordo de fuga (≈44,1 mm).
Potência necessária
Espessura total das camadas-limites no bordo de fuga