3^{\text {a }} Questão (20) Uma asa delgada de 120 cm de comprimento (corda) e 10 m de largura (envergadura) move-se a 150 \mathrm{~km} / \mathrm{h} no ar a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=1,8 \times 10^{-5} \mathrm{Kg} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s})\right). Aplicando a teoria da placa plana lisa com um número de Reynolds de transição \mathrm{Re}_{\mathrm{tr}}=5 \times 10^{5}, calcule o arrasto de atrito total e a potência necessária para vencê-lo. Calcule a espessura total das camadas-limites no bordo de fuga da asa. Despreze os gradientes de pressão e as assimetrias de incidência e arqueamento e modele as superficies superior e inferior da asa como duas placas planas idênticas paralelas ao escoamento.

Passo 1

O enunciado dá uma asa modelada como duas placas planas idênticas (superior e inferior) paralelas ao escoamento. Dados fornecidos (todos os números aparecerão em fórmulas abaixo em notação TeX):
  • comprimento da corda: L=120\\ \text{cm}=1{,}20\\ \text{m}.
  • envergadura (largura da placa): b=10\\ \text{m}.
  • velocidade relativa do ar: 150\\ \text{km/h}.
  • temperatura/condições: densidade \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade absoluta \mu=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • número de Reynolds de transição dado: \mathrm{Re}_{\mathrm{tr}}=5\times10^{5}.
    O que a questão pede:
  1. Calcular o arrasto de atrito total (ou seja, a força de arrasto viscosa sobre ambas as faces da asa).
  2. Calcular a potência necessária para vencer esse arrasto (potência = arrasto × velocidade).
  3. Calcular a espessura total das camadas-limites no bordo de fuga da asa (ou seja, soma das espessuras nas duas faces, no x=L).
    Observação: desprezar gradientes de pressão e assimetrias; modelar cada face como uma placa plana com escoamento em direção ao eixo x (do bordo de ataque x=0 ao bordo de fuga x=L). A resolução começa agora.

Passo 2

Converter unidades e calcular quantidades básicas que serão usadas.
  • Converter velocidade:
U=\frac{150}{3{,}6}=41{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}8\times10^{-5}}{1{,}2}=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • número de Reynolds baseado na corda L:
\mathrm{Re}_L=\frac{U L}{\nu}=\frac{41{,}666\ldots\times1{,}2}{1{,}5\times10^{-5}}=3{,}333\times10^{6}.
  • dinâmica de pressão (pressão dinâmica):
q=\tfrac{1}{2}\rho U^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}2\cdot(41{,}666\ldots)^{2}=1041{,}667\\ \mathrm{Pa}.
  • posição de transição x_{\mathrm{tr}} obtida por \mathrm{Re}_{\mathrm{tr}}=U x_{\mathrm{tr}}/\nu, logo
x_{\mathrm{tr}}=\frac{\mathrm{Re}_{\mathrm{tr}}\\ \nu}{U}=\frac{5\times10^{5}\cdot1{,}5\times10^{-5}}{41{,}666\ldots}=0{,}18\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: x_{\mathrm{tr}}=0{,}18\\ \mathrm{m}<L=1{,}20\\ \mathrm{m}, então há uma região laminar (de 0 até x_{\mathrm{tr}}) seguida por uma região turbulenta (de x_{\mathrm{tr}} até L).

Passo 3

Apresentar as fórmulas de atrito de superfície para placas planas e explicá-las (essas são fórmulas empíricas clássicas usadas em provas).
  • Definições:
    • x é a distância desde o bordo de ataque (m).
    • \mathrm{Re}_x=\dfrac{U x}{\nu} é o número de Reynolds local.
    • C_{f}(x) é o coeficiente de atrito local (adimensional).
    • Para uma placa de largura b e extensão no x de x_1 a x_2, a força de atrito é
    D = q\\ b\\ \int_{x_1}^{x_2} C_{f}(x)\,dx,pois q=\tfrac12\rho U^2 é a pressão dinâmica e b\,dx é a área elementar.
  • Fórmulas para C_f:
    • Região laminar (perfil de Blasius, fluxo laminar sobre placa lisa):
    C_{f,\text{lam}}(x)=\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},e a média sobre 0 até X (para força integrada) é C_{f,\text{lam,avg}}(0\to X)=\frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_X}}.
    • Região turbulenta (perfil empírico de von Kármán—Prandtl para placa lisa, fluxo plenamente turbulento):
    C_{f,\text{turb}}(x)=0{,}074\\ \mathrm{Re}_x^{-1/5}.Essa expressão pode ser integrada em x explicitamente porque \mathrm{Re}_x\propto x, veremos no próximo passo.
    Explicação intuitiva: em laminar C_f decai como x^{-1/2} (camada-limite cresce rápido), já em turbulento decai menos rápido como x^{-1/5} (camada-limite é mais espessa mas o atrito local diminui mais lentamente).

Passo 4

Calcular a contribuição laminar ao arrasto (região 0\le x\le x_{\mathrm{tr}}).
  • Use a média laminar até x_{\mathrm{tr}}:
C_{f,\text{lam,avg}}(0\to x_{\mathrm{tr}})=\frac{1{,}328}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x_{\mathrm{tr}}}}} =\frac{1{,}328}{\sqrt{5\times10^{5}}}=1{,}878\times10^{-3}.
  • Área molhada dessa porção por face: S_{\mathrm{lam,face}}=b\\ x_{\mathrm{tr}}=10\cdot0{,}18=1{,}8\\ \mathrm{m^2}.
  • Força de atrito laminar por face:
D_{\mathrm{lam,face}}=q\\ C_{f,\text{lam,avg}}\\ S_{\mathrm{lam,face}} =1041{,}667\cdot1{,}878\times10^{-3}\cdot1{,}8\approx3{,}52\\ \mathrm{N}.
  • Duas faces (superior + inferior):
D_{\mathrm{lam,total}}=2\\ D_{\mathrm{lam,face}}\approx7{,}04\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular a contribuição turbulenta ao arrasto (região x_{\mathrm{tr}}\le x\le L) integrando C_{f,\text{turb}}(x).
  • Escrever C_{f,\text{turb}}(x)=0{,}074\left(\dfrac{U x}{\nu}\right)^{-1/5} =0{,}074\left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5} x^{-1/5}.
  • Integração:
\int_{x_{\mathrm{tr}}}^{L} C_{f,\text{turb}}(x)\,dx =0{,}074\left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5}\int_{x_{\mathrm{tr}}}^{L} x^{-1/5}dx.
\int x^{-1/5}dx=\frac{5}{4}x^{4/5},
portanto
\int_{x_{\mathrm{tr}}}^{L} C_{f,\text{turb}}(x)\,dx =0{,}074\left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5}\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_{\mathrm{tr}}^{4/5}\right).
  • Avaliando numericamente:
    • calcular L^{4/5} e x_{\mathrm{tr}}^{4/5}:
    L^{4/5}=1{,}2^{0{,}8}\approx1{,}15717,\qquad x_{\mathrm{tr}}^{4/5}=0{,}18^{0{,}8}\approx0{,}25369.
    • calcular \left(\dfrac{U}{\nu}\right)^{-1/5}=(2{,}777{,}777{,}78)^{-1/5}\approx0{,}051401.
    • então a integral vale aproximadamente
    \int_{x_{\mathrm{tr}}}^{L} C_{f,\text{turb}}(x)\,dx \approx 0{,}074\cdot0{,}051401\cdot\frac{5}{4}\cdot(1{,}15717-0{,}25369) \approx4{,}2966\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Força de atrito turbulenta por face:
D_{\mathrm{turb,face}}=q\\ b\\ \int_{x_{\mathrm{tr}}}^{L} C_{f,\text{turb}}(x)\,dx =1041{,}667\cdot10\cdot4{,}2966\times10^{-3}\approx44{,}80\\ \mathrm{N}.
  • Duas faces:
D_{\mathrm{turb,total}}=2\\ D_{\mathrm{turb,face}}\approx89{,}60\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Somar contribuições laminar e turbulenta para obter o arrasto total e calcular a potência necessária.
  • Arrasto total:
D_{\mathrm{total}}=D_{\mathrm{lam,total}}+D_{\mathrm{turb,total}} \approx7{,}04+89{,}60=96{,}64\\ \mathrm{N}.
  • Potência necessária para vencer esse arrasto (potência mecânica do fluxo de propulsão no ar) é
P=D_{\mathrm{total}}\\ U=96{,}64\cdot41{,}666\ldots\approx4026{,}7\\ \mathrm{W}\approx4{,}03\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Calcular espessura da camada-limite no bordo de fuga e espessura total (duas faces).
  • Fórmulas empíricas para espessura de 99% da camada-limite ( \delta_{99}):
    • Região laminar (Blasius):
    \delta_{99,\text{lam}}(x)\approx\frac{5\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
    • Região turbulenta (empírico):
    \delta_{99,\text{turb}}(x)\approx0{,}37\,x\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.
  • Avaliar espessura na borda de fuga x=L. Como a maior parte do desenvolvimento até L está em regime turbulento (transição em x_{\mathrm{tr}}=0{,}18 m), a espessura em x=L é dominada pela lei turbulenta; calculamos ambos para comparação.
    • espessura laminar em x_{\mathrm{tr}}:
    \delta_{99,\text{lam}}(x_{\mathrm{tr}}) \approx\frac{5\cdot0{,}18}{\sqrt{5\times10^{5}}} \approx1{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=1{,}27\\ \mathrm{mm}.
    • espessura turbulenta estimada em x=L:
    \delta_{99,\text{turb}}(L)\approx0{,}37\\ L\\ \mathrm{Re}_L^{-1/5} \approx0{,}37\cdot1{,}2\cdot(3{,}333\times10^{6})^{-1/5}\approx0{,}02206\\ \mathrm{m}=22{,}06\\ \mathrm{mm}.
  • A espessura na borda de fuga por face é, portanto, aproximadamente \delta_{99}(L)\approx0{,}0221\\ \mathrm{m}. A espessura total (soma superior + inferior) é
\delta_{\text{total}}=2\\ \delta_{99}(L)\approx2\cdot0{,}02206\approx0{,}04413\\ \mathrm{m}=44{,}1\\ \mathrm{mm}.
Comentário: a contribuição laminar inicial é desprezível em relação à espessura turbulenta no bordo de fuga; usei a fórmula turbulenta em x=L como aproximação prática (abordagem padrão em problemas de placa plana com transição curta).

Resposta

Arrasto total D_{\mathrm{total}}\approx96{,}6\\ \mathrm{N}.
Potência necessária P\approx4{,}03\\ \mathrm{kW}.
Espessura total das camadas-limites no bordo de fuga \delta_{\text{total}}\approx0{,}0441\\ \mathrm{m} (≈44,1 mm).

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