4{ }^{\text {a }} Questão: Uma haste com 100 mm de diâmetro e 10 m de comprimento alonga-se 15 mm sob uma carga de 500 KN . O diâmetro diminui de 0,048 durante o carregamento. Determine as seguintes propriedades do material:
a. Coeficiente de Poisson
b. Módulo de Young

Passo 1

O enunciado dá uma barra (haste) com as seguintes informações:
  • Diâmetro inicial: d=100\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L=10\\ \text{m}=10000\\ \text{mm}.
  • Alongamento axial (variação de comprimento): \Delta L=15\\ \text{mm}.
  • Carga axial aplicada: F=500\\ \text{kN}=500000\\ \text{N}.
  • Diminuição do diâmetro durante o carregamento: \Delta d=-0,048\\ \text{mm} (o sinal negativo indica redução).
    O que o enunciado pede:
    a. Determinar o coeficiente de Poisson.
    b. Determinar o módulo de Young (módulo de elasticidade) do material.

Passo 2

Relembrando os conceitos que vamos usar (aulas rápidas e concretas):
  • Tensão axial (ou esforço normal) é a força dividida pela área da seção transversal:
\sigma=\frac{F}{A}.
Aqui F é a força (em \text{N}) e A é a área da seção (em \text{mm}^2 se usarmos mm), e \sigma ficará em \text{N/mm}^2 (ou MPa).
  • De formato circular, a área é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro.
  • Deformação axial (engaste/strain) é a variação relativa do comprimento:
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta L}{L}.
É adimensional (sem unidade).
  • Deformação lateral (transversal) é a variação relativa do diâmetro:
\varepsilon_{\text{lateral}}=\frac{\Delta d}{d}.
  • Coeficiente de Poisson \nu relaciona as deformações: é definido por
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
O sinal menos faz com que \nu seja positivo quando alongamento axial causa redução lateral.
  • Módulo de Young E (no regime elástico linear) é a razão entre tensão e deformação axial:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{axial}}}.
Isto dá E em \text{N/mm}^2 (ou MPa), que normalmente converte-se para GPa dividindo por 1000.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal da haste (pegando d=100\\ \text{mm} do enunciado):
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(100)^{2}}{4}=\pi\cdot2500=2500\pi\\ \text{mm}^{2}.
Calcular a tensão axial \sigma usando F=500000\\ \text{N}:
\sigma=\frac{F}{A}=\frac{500000}{2500\pi}=\frac{200}{\pi}\\ \text{N/mm}^{2}.
Se quiser um valor numérico aproximado:
\sigma\approx\frac{200}{3{,}14159}\approx63{,}662\\ \text{N/mm}^{2}=63{,}662\\ \text{MPa}.

Passo 4

Calcular as deformações:
  • Deformação axial:
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta L}{L}=\frac{15}{10000}=0{,}0015.
  • Deformação lateral (note que \Delta d=-0{,}048\\ \text{mm}, usei o valor dado no enunciado):
\varepsilon_{\text{lateral}}=\frac{\Delta d}{d}=\frac{-0{,}048}{100}=-0{,}00048.

Passo 5

Calcular o coeficiente de Poisson \nu pela fórmula:
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{lateral}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}=-\frac{-0{,}00048}{0{,}0015}=\frac{0{,}00048}{0{,}0015}=0{,}32.
Interpretação rápida: \nu=0{,}32 significa que para cada alongamento axial relativo, há uma contração lateral de cerca de 0{,}32 vezes esse alongamento — um valor típico para alguns aços/ligas leves.

Passo 6

Calcular o módulo de Young E. Usando \sigma=\dfrac{200}{\pi}\\ \text{N/mm}^{2} e \varepsilon_{\text{axial}}=0{,}0015:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{axial}}}=\frac{\dfrac{200}{\pi}}{0{,}0015}=\frac{200}{\pi\cdot0{,}0015}.
Avaliando numericamente:
E\approx\frac{200}{3{,}14159\cdot0{,}0015}\approx42441\\ \text{N/mm}^{2}=42441\\ \text{MPa}.
Converter para unidades mais usuais:
E\approx42{,}44\\ \text{GPa}.

Resposta

a. \nu=0{,}32
b. E\approx42441\\ \text{MPa}=42{,}44\\ \text{GPa}

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