Escreva as equações do deslocamento x(\mathrm{t}) com 2 e 3 termos da série binomial de Newton (1665) para os mecanismos I e II;

Passo 1

O enunciado pede: escrever as equações do deslocamento x(t) com 2 e 3 termos da série binomial de Newton (1665) para os mecanismos I e II.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão explícita ou figura dos mecanismos I e II foi enviada.
Consequência imediata: não é possível escrever as fórmões específicas de x(t) para os mecanismos I e II sem a descrição geométrica ou as expressões que relacionam x com as grandezas variáveis (por exemplo, comprimentos, ângulos ou funções de tempo) desses mecanismos. Vou explicar por que e como proceder, ensinar a série binomial e mostrar passo a passo como obter aproximações de 2 e 3 termos que você poderá aplicar assim que me fornecer (ou estiver com) a expressão geométrica de cada mecanismo. Se depois quiser, me manda a figura ou as fórmulas dos mecanismos e eu aplico diretamente.

Passo 2

O que é a série binomial generalizada (Newton, 1665) e quando ela é usada.
  • A série binomial generalizada dá a expansão em série de potências de (1+u)^\alpha, válida quando |u|<1 (ou no sentido assintótico quando u é pequeno):
(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}u^3 + \cdots
  • Aqui \alpha é um número real (por exemplo \tfrac12, -\tfrac12, etc.) e u é a quantidade pequena em módulo.
  • Interpretação dos coeficientes: o termo de ordem k tem coeficiente \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Dica prática para mecânica: muitas vezes x aparece como raiz ou potência de uma soma/diferença (ex.: \sqrt{L^2-y^2}, (A+B\sin\omega t)^{1/2}, etc.). Para aplicar a série, escrevemos a expressão numa forma (\text{base})^\alpha(1+u)^\alpha e expandimos em u pequeno.

Passo 3

Como reescrever uma expressão do tipo (A+B)^\alpha para aplicar a série: fatoramos A^\alpha. Supondo A\neq0,
(A+B)^\alpha = A^\alpha\left(1+\frac{B}{A}\right)^\alpha.
Definimos u=\dfrac{B}{A}. Se |u|\ll1, expandimos (1+u)^\alpha usando a série binomial. Isso é o truque chave: identificar uma quantidade pequena relativa \dfrac{B}{A}.

Passo 4

Fórmulas prontas (duas e três termos) para uso direto. Seja x(t)=(A+B(t))^\alpha com |B(t)/A|\ll1. Então:
  • Aproximação com 2 termos (termo constante + correção linear):
x(t)\approx A^\alpha\left(1+\alpha\frac{B(t)}{A}\right) = A^\alpha + \alpha A^{\alpha-1}B(t).
  • Aproximação com 3 termos (inclui termo quadrático em B):
x(t)\approx A^\alpha\left(1+\alpha\frac{B(t)}{A}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\left(\frac{B(t)}{A}\right)^2\right) = A^\alpha + \alpha A^{\alpha-1}B(t) + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}A^{\alpha-2}B(t)^2.
Expliquei o que é cada símbolo: A é a parte dominante (constante, típica dimensão grande), B(t) é a variação dependente do tempo (pequena), \alpha é o expoente que aparece na expressão original (por exemplo \tfrac12 para raiz quadrada).

Passo 5

Exemplo 1 (caso muito comum): x(t)=\sqrt{L^2-y(t)^2}. Muitas vezes aparece em barras inclinadas, pêndulos aproximados, etc. Vamos transformar para a forma (\cdot)^\alpha e expandir com \alpha=\tfrac12.
Reescrevemos:
x(t)=\sqrt{L^2-y(t)^2}=L\sqrt{1-\frac{y(t)^2}{L^2}}=L\left(1+u\right)^{1/2},
onde \displaystyle u=-\frac{y(t)^2}{L^2} (note: u é pequeno se y(t)\ll L). Aplicando as fórmulas:
  • Com 2 termos:
x(t)\approx L\left(1+\frac{1}{2}u\right) = L - \frac{1}{2}\frac{y(t)^2}{L}.
  • Com 3 termos: aqui \alpha=\tfrac12 e \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}=\dfrac{\tfrac12(\tfrac12-1)}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{8}. Então
x(t)\approx L\left(1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2\right) = L - \frac{1}{2}\frac{y(t)^2}{L} - \frac{1}{8}\frac{y(t)^4}{L^3}.
Este é um exemplo totalmente desenvolvido que você pode reconhecer em mecanismos onde a coordenada horizontal é dada por uma raiz envolvendo L e y.

Passo 6

Exemplo 2 (outro caso recorrente): x(t)=(A+B\sin\omega t)^{1/2} com B\sin\omega t pequeno frente a A. Aplicando as fórmulas com \alpha=\tfrac12:
  • Com 2 termos:
x(t)\approx A^{1/2} + \frac{1}{2}A^{-1/2}B\sin\omega t.
  • Com 3 termos (termo quadrático em \sin\omega t):
x(t)\approx A^{1/2} + \frac{1}{2}A^{-1/2}B\sin\omega t - \frac{1}{8}A^{-3/2}B^2\sin^2\omega t.
Observação pedagógica: \sin^2\omega t pode ser escrita como \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\omega t) se quiser separar termo constante e harmônico de frequência 2\omega.

Passo 7

Resumo do procedimento (passo a passo para aplicar à sua figura dos mecanismos I e II quando você tiver as expressões):
  1. Obter a expressão exata x(t) do mecanismo (p.ex. por relações geométricas: teorema de Pitágoras, relação trigonométrica, etc.).
  2. Reescrever x(t) como x(t)=A^\alpha(1+u(t))^\alpha com u(t) pequeno (escolha A como a parte dominante/constante).
  3. Usar as fórmulas dos Passos 4–6 para os 2 e 3 termos, substituindo \alpha e u(t).
  4. Simplificar e, se necessário, expressar funções quadráticas (ex.: \sin^2) em termos de harmônicas para interpretação física.
Se quiser, me envia a figura ou as fórmulas geométricas dos mecanismos I e II (por exemplo, as relações entre x, ângulos e outros comprimentos), que eu aplico esses passos e retorno exatamente x(t) com 2 e 3 termos, já adaptado ao seu problema — faço isso sem pular etapas.

Resposta

Mecanismo I: não é possível determinar x(t) sem a figura ou a expressão geométrica do mecanismo (descrição/figura ausente).
Mecanismo II: não é possível determinar x(t) sem a figura ou a expressão geométrica do mecanismo (descrição/figura ausente).

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