Escreva as equações do deslocamento
com 2 e 3 termos da série binomial de Newton (1665) para os mecanismos I e II;
Passo 1
O enunciado pede: escrever as equações do deslocamento
com 2 e 3 termos da série binomial de Newton (1665) para os mecanismos I e II.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão explícita ou figura dos mecanismos I e II foi enviada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão explícita ou figura dos mecanismos I e II foi enviada.
Consequência imediata: não é possível escrever as fórmões específicas de
para os mecanismos I e II sem a descrição geométrica ou as expressões que relacionam
com as grandezas variáveis (por exemplo, comprimentos, ângulos ou funções de tempo) desses mecanismos. Vou explicar por que e como proceder, ensinar a série binomial e mostrar passo a passo como obter aproximações de 2 e 3 termos que você poderá aplicar assim que me fornecer (ou estiver com) a expressão geométrica de cada mecanismo. Se depois quiser, me manda a figura ou as fórmulas dos mecanismos e eu aplico diretamente.
Passo 2
O que é a série binomial generalizada (Newton, 1665) e quando ela é usada.
- A série binomial generalizada dá a expansão em série de potências de
, válida quando (ou no sentido assintótico quando é pequeno):
- Aqui
é um número real (por exemplo , , etc.) e é a quantidade pequena em módulo. - Interpretação dos coeficientes: o termo de ordem
tem coeficiente .
Dica prática para mecânica: muitas vezes
aparece como raiz ou potência de uma soma/diferença (ex.:
,
, etc.). Para aplicar a série, escrevemos a expressão numa forma
e expandimos em
pequeno.
Passo 3
Como reescrever uma expressão do tipo
para aplicar a série: fatoramos
. Supondo
,
Definimos
. Se
, expandimos
usando a série binomial. Isso é o truque chave: identificar uma quantidade pequena relativa
.
Passo 4
Fórmulas prontas (duas e três termos) para uso direto. Seja
com
. Então:
- Aproximação com 2 termos (termo constante + correção linear):
- Aproximação com 3 termos (inclui termo quadrático em
):
Expliquei o que é cada símbolo:
é a parte dominante (constante, típica dimensão grande),
é a variação dependente do tempo (pequena),
é o expoente que aparece na expressão original (por exemplo
para raiz quadrada).
Passo 5
Exemplo 1 (caso muito comum):
. Muitas vezes aparece em barras inclinadas, pêndulos aproximados, etc. Vamos transformar para a forma
e expandir com
.
Reescrevemos:
onde
(note:
é pequeno se
). Aplicando as fórmulas:
- Com 2 termos:
- Com 3 termos: aqui
e . Então
Este é um exemplo totalmente desenvolvido que você pode reconhecer em mecanismos onde a coordenada horizontal é dada por uma raiz envolvendo
e
.
Passo 6
Exemplo 2 (outro caso recorrente):
com
pequeno frente a
. Aplicando as fórmulas com
:
- Com 2 termos:
- Com 3 termos (termo quadrático em
):
Observação pedagógica:
pode ser escrita como
se quiser separar termo constante e harmônico de frequência
.
Passo 7
Resumo do procedimento (passo a passo para aplicar à sua figura dos mecanismos I e II quando você tiver as expressões):
- Obter a expressão exata
do mecanismo (p.ex. por relações geométricas: teorema de Pitágoras, relação trigonométrica, etc.). - Reescrever
como com pequeno (escolha como a parte dominante/constante). - Usar as fórmulas dos Passos 4–6 para os 2 e 3 termos, substituindo
e . - Simplificar e, se necessário, expressar funções quadráticas (ex.:
) em termos de harmônicas para interpretação física.
Se quiser, me envia a figura ou as fórmulas geométricas dos mecanismos I e II (por exemplo, as relações entre
, ângulos e outros comprimentos), que eu aplico esses passos e retorno exatamente
com 2 e 3 termos, já adaptado ao seu problema — faço isso sem pular etapas.
Resposta
Mecanismo I: não é possível determinar
sem a figura ou a expressão geométrica do mecanismo (descrição/figura ausente).
Mecanismo II: não é possível determinar sem a figura ou a expressão geométrica do mecanismo (descrição/figura ausente).
Mecanismo II: não é possível determinar