3{ }^{\text {a }} Questão (2,5 pontos) -
Dimensionar o eixo-árvore vazado com relação entre diâmetros igual a 0,75 , para transmitir uma potência P , girando com uma velocidade angular \omega. O material do eixo é ABNT 1045 e a tensão admissível indicada para o caso é 50 MPa . Supondo \mathrm{P}=60 \mathrm{~kW}, \omega=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine:
a) Torque atuante no eixo
b) Dimensões do eixo

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara dos dados e das perguntas):
  • Dados numéricos:
    • Potência: P=60\\ \text{kW}.
    • Velocidade angular: \omega=10\\ \text{rad/s}.
    • Tensão admissível (para cisalhamento/torsão): \tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa}.
    • Razão entre diâmetros (interno sobre externo) do eixo vazado: k=\dfrac{d_i}{d_o}=0{,}75.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o torque atuante no eixo.
    • (b) Determinar as dimensões do eixo vazado: diâmetro externo d_o e diâmetro interno d_i (ou medidas equivalentes).

Passo 2

Calcular o torque a partir de P e \omega. Fórmula e explicação curta:
  • A potência transmitida por um eixo em rotação é dada por P=T\omega, onde:
    • P é a potência (W),
    • T é o torque (N·m),
    • \omega é a velocidade angular (rad/s).
  • Isolando T: T=\frac{P}{\omega}.
Substituindo os dados (converter P para W: 60\\ \text{kW}=60000\\ \text{W}):
T=\frac{60000}{10}=6000\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular vazado submetido a torque e definição das grandezas:
  • Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia (polar moment) J vale
J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right),
onde d_o é o diâmetro externo e d_i é o diâmetro interno (ambos em metros).
  • A tensão de cisalhamento máxima ( \tau_{\max}) devido ao torque T é
\tau_{\max}=\frac{T\cdot c}{J},
onde c é a distância do eixo ao ponto mais afastado (para seção circular c=\dfrac{d_o}{2}).
  • Substituindo J e c obtemos a fórmula prática:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi\,d_o^3\left(1-\left(\dfrac{d_i}{d_o}\right)^4\right)}.
  • Aqui:
    • T em N·m,
    • d_o em m,
    • d_i/d_o=k adimensional,
    • \tau_{\max} em Pa.
Vamos usar a condição de projeto \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Para dimensionar assumimos igualdade (caso limite):
\tau_{\text{adm}}=\frac{16\,T}{\pi\,d_o^3\left(1-k^4\right)}.
Isolando d_o:
d_o^3=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}\left(1-k^4\right)}.

Passo 4

Calcular k^4 e 1-k^4 com k=0{,}75:
k^2=0{,}75^2=0{,}5625, \qquad k^4=(0{,}5625)^2=0{,}31640625.
1-k^4=1-0{,}31640625=0{,}68359375.

Passo 5

Substituir valores numéricos na expressão de d_o^3. Usar T=6000\\ \text{N}\cdot\text{m} e \tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa}=50\times10^{6}\\ \text{Pa}:
d_o^3=\frac{16\cdot 6000}{\pi\cdot(50\times10^{6})\cdot(0{,}68359375)}.
Calcular passo a passo o denominador e a fração:
(50\times10^{6})\cdot(0{,}68359375)=34\,179\,687{,}5\\ \text{Pa},
\pi\cdot34\,179\,687{,}5\approx 107\,382\,785\\ (\text{aprox.}).
Numerador:
16\cdot6000=96\,000.
Logo
d_o^3\approx\frac{96\,000}{107\,382\,785}\approx 8{,}943\times10^{-4}\\ \text{m}^3.

Passo 6

Extrair a raiz cúbica para obter d_o:
d_o=\sqrt[3]{8{,}943\times10^{-4}}\approx 0{,}0963\\ \text{m}=96{,}3\\ \text{mm}.
(Explicação rápida: procedeu-se calculando d_o=\exp\!\big(\tfrac{1}{3}\ln(8{,}943\times10^{-4})\big). O valor numérico arredondado foi apresentado com três algarismos significativos.)

Passo 7

Calcular o diâmetro interno d_i usando d_i=k\,d_o e a espessura da parede:
d_i=k\,d_o=0{,}75\cdot0{,}0963\\ \text{m}\approx0{,}0722\\ \text{m}=72{,}2\\ \text{mm}.
Espessura radial da parede (metodologia e valor):
t=\frac{d_o-d_i}{2}=\frac{0{,}0963-0{,}0722}{2}\\ \text{m}\approx0{,}0120\\ \text{m}=12{,}0\\ \text{mm}.

Passo 8

Observações práticas e de projeto (curtas e úteis):
  • Os valores calculados são os mínimos para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 50\\ \text{MPa}. Em projeto real costuma-se arredondar para diâmetros comerciais e/ou aplicar fatores de segurança adicionais e checar outros estados de carregamento (flexão, concentrações de tensão, e juntura com chavetas, chavetas, chavetas/enta…).
  • Um arredondamento conservador e comum seria escolher, por exemplo, d_o=100\\ \text{mm} e d_i=75\\ \text{mm} (mantendo a razão k=0{,}75), o que dá margem adicional.

Resposta

(a) T=6000\\ \text{N}\cdot\text{m}
(b) d_o\approx0{,}0963\\ \text{m}=96{,}3\\ \text{mm},\quad d_i\approx0{,}0722\\ \text{m}=72{,}2\\ \text{mm}

Exercícios relacionados