5 { }^{\text {a }} Questão: Usando escalonamento, represente o problema na forma matricial. E resolva o sistema abaixo. Questões 5 e 6 só para os alunos que forem fazer substutiva:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z+w=5 \\ x+2 y+z+w=5 \\ x+y+2 z+w=5 \\ x+y+z+2 w=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede duas coisas: (1) representar o problema na forma matricial usando escalonamento; (2) resolver o sistema. As equações fornecidas são:
\left\{\begin{array}{l} 2x+y+z+w=5 \\[4pt] x+2y+z+w=5 \\[4pt] x+y+2z+w=5 \\[4pt] x+y+z+2w=5 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas: os coeficientes e os termos independentes de cada equação (veja acima). O objetivo final é encontrar os valores de x,y,z,w que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Primeiro vamos escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. A matriz dos coeficientes A, o vetor incógnita \mathbf{x} e o vetor dos termos independentes \mathbf{b} são:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]w\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]5\\[4pt]5\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Para resolver por escalonamento montamos a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right].]

Passo 3

Explicando rápido o método (sem mistério): escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares nas linhas para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou forma escalonada), mantendo as soluções equivalentes. Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra. Vamos aplicar essas operações passo a passo.
Começamos com a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right].
Escolhemos como pivô inicial o elemento \;2\; da primeira linha (posição (1,1)).]

Passo 4

Eliminamos os 1's abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso fazemos, para i=2,3,4:
R_i \leftarrow R_i - \tfrac{1}{2}R_1.
Aplicando essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{5}{2} \end{array}\right].
Expliquei: por exemplo, na segunda linha o novo segundo coeficiente é 2 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{3}{2}, e o termo independente é 5 - \tfrac{1}{2}\cdot 5 = \tfrac{5}{2}.]

Passo 5

Agora escolhemos como próximo pivô o elemento \tfrac{3}{2} na posição (2,2). Vamos zerar as entradas abaixo dele na coluna 2 (linhas 3 e 4). O multiplicador para as linhas 3 e 4 é \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{1}{3}. Ou seja:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{3}R_2.
Aplicando essas operações obtemos:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} \end{array}\right].
Cheque rápido um elemento: na linha 3, coluna 3: \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3}. O termo independente ficou \tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{5}{3}.]

Passo 6

Agora o próximo pivô é \tfrac{4}{3} na posição (3,3). Precisamos zerar o elemento abaixo dele na coluna 3 (linha 4). O multiplicador é \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{1}{4}. Fazemos:
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{4}R_3.
Aplicando, obtemos a forma triangular superior completa:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{4} & \tfrac{5}{4} \end{array}\right].]

Passo 7

Agora que a matriz está triangular superior podemos resolver por retro-substituição. A última linha corresponde à equação
\tfrac{5}{4}\,w = \tfrac{5}{4}.
Portanto
w = 1.

Passo 8

Substituímos w=1 na terceira linha, que corresponde a
\tfrac{4}{3}\,z + \tfrac{1}{3}\,w = \tfrac{5}{3}.
Com w=1 temos
\tfrac{4}{3}\,z + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{4}{3}\,z = \tfrac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad z=1.

Passo 9

Substituímos z=1 e w=1 na segunda linha, que dá
\tfrac{3}{2}\,y + \tfrac{1}{2}\,z + \tfrac{1}{2}\,w = \tfrac{5}{2}.
Com z=w=1 isto vira
\tfrac{3}{2}\,y + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{3}{2}\,y +1 = \tfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{3}{2}\,y = \tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad y=1.

Passo 10

Finalmente substituímos y=1, z=1, w=1 na primeira equação:
2x + y + z + w = 5 \quad\Rightarrow\quad 2x + 1 + 1 + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad 2x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Concluímos que todas as incógnitas valem 1. É uma solução única (a eliminação não encontrou linhas nulas inconsistentes nem graus de liberdade).

Resposta

x=1\
y=1\
z=1\
w=1

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