5 { }^{\text {a }} Questão: Usando escalonamento, represente o problema na forma matricial. E resolva o sistema abaixo. Questões 5 e 6 só para os alunos que forem fazer substutiva:
O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas e pede duas coisas: (1) representar o problema na forma matricial usando escalonamento; (2) resolver o sistema. As equações fornecidas são:
Informações relevantes dadas: os coeficientes e os termos independentes de cada equação (veja acima). O objetivo final é encontrar os valores de x,y,z,w que satisfazem todas as equações simultaneamente.]
Passo 2
Primeiro vamos escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}. A matriz dos coeficientes A, o vetor incógnita \mathbf{x} e o vetor dos termos independentes \mathbf{b} são:
Explicando rápido o método (sem mistério): escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares nas linhas para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior (ou forma escalonada), mantendo as soluções equivalentes. Operações permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra. Vamos aplicar essas operações passo a passo.
Expliquei: por exemplo, na segunda linha o novo segundo coeficiente é 2 - \tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{3}{2}, e o termo independente é 5 - \tfrac{1}{2}\cdot 5 = \tfrac{5}{2}.]
Passo 5
Agora escolhemos como próximo pivô o elemento \tfrac{3}{2} na posição (2,2). Vamos zerar as entradas abaixo dele na coluna 2 (linhas 3 e 4). O multiplicador para as linhas 3 e 4 é \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{1}{3}. Ou seja:
Cheque rápido um elemento: na linha 3, coluna 3: \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3}. O termo independente ficou \tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{5}{3}.]
Passo 6
Agora o próximo pivô é \tfrac{4}{3} na posição (3,3). Precisamos zerar o elemento abaixo dele na coluna 3 (linha 4). O multiplicador é \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{1}{4}. Fazemos:
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{4}R_3.
Aplicando, obtemos a forma triangular superior completa: