3^{\text {a }} Questão(2,5 PONTOS): Ache a distância entre a reta r, e o ponto (-1,1,1), onde
r:\left\{\begin{array}{c} x=5-t \\ y=0 \\ z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a distância entre a reta r e o ponto (-1,1,1)".
Informações dadas pelo enunciado:
r:\left\{\begin{array}{l} x=5-t\\[4pt] y=0\\[4pt] z=1 \end{array}\right.
e o ponto A=(-1,1,1).
Também extraímos da parametrização um ponto que pertence à reta e o vetor direção da reta (vai ser usado na resolução).]

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona): se uma reta passa por um ponto P_0 e tem vetor direção v, e temos um ponto A, então a distância da reta até A é dada por
d=\frac{\|(A-P_0)\times v\|}{\|v\|}.
Explicação didática: (A-P_0)\times v é o produto vetorial entre o vetor que vai de P_0 até A e o vetor direção v. O módulo desse produto vetorial é a área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, que vale \|A-P_0\|\cdot\|v\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Dividindo por \|v\| sobra \|A-P_0\|\sin\theta, que é exatamente a componente de \|A-P_0\| perpendicular à reta — ou seja, a distância mínima procurada. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Escolhemos um ponto P_0 da reta pegando t=0 na parametrização. Assim
P_0=(5,0,1).
O vetor direção v da reta vem dos coeficientes de t na parametrização: como x=5-t podemos escrever x=5+(-1)t, e y=0+0\cdot t, z=1+0\cdot t. Logo
v=(-1,0,0).
O vetor que liga P_0 a A é
A-P_0 = (-1,1,1)-(5,0,1)=(-6,1,0).

Passo 4

Calculemos o produto vetorial (A-P_0)\times v. Usando a fórmula para o produto vetorial,
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Com a=(A-P_0)=(-6,1,0) e b=v=(-1,0,0) temos
(A-P_0)\times v=(1\cdot 0-0\cdot 0,\;0\cdot(-1)-(-6)\cdot 0,\;(-6)\cdot 0-1\cdot(-1))=(0,0,1).

Passo 5

Agora o módulo do produto vetorial é
\|(A-P_0)\times v\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.
O módulo do vetor direção é
\|v\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1.
Aplicando a fórmula da distância:
d=\frac{\|(A-P_0)\times v\|}{\|v\|}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Interpretação geométrica (para fixar a ideia): a reta r é paralela ao eixo x (vetor direção (-1,0,0)) e está localizada em y=0,\,z=1. O ponto A tem z=1 também, mas y=1. Assim a menor distância entre A e a reta é simplesmente a diferença em y, ou seja 1. Isso confirma o cálculo anterior e ajuda a entender rapidamente casos parecidos na prova.

Resposta

1

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