e o ponto A=(-1,1,1).
Também extraímos da parametrização um ponto que pertence à reta e o vetor direção da reta (vai ser usado na resolução).]
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que ela funciona): se uma reta passa por um ponto P_0 e tem vetor direção v, e temos um ponto A, então a distância da reta até A é dada por
d=\frac{\|(A-P_0)\times v\|}{\|v\|}.
Explicação didática: (A-P_0)\times v é o produto vetorial entre o vetor que vai de P_0 até A e o vetor direção v. O módulo desse produto vetorial é a área do paralelogramo gerado pelos dois vetores, que vale \|A-P_0\|\cdot\|v\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores. Dividindo por \|v\| sobra \|A-P_0\|\sin\theta, que é exatamente a componente de \|A-P_0\| perpendicular à reta — ou seja, a distância mínima procurada. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Escolhemos um ponto P_0 da reta pegando t=0 na parametrização. Assim
P_0=(5,0,1).
O vetor direção v da reta vem dos coeficientes de t na parametrização: como x=5-t podemos escrever x=5+(-1)t, e y=0+0\cdot t, z=1+0\cdot t. Logo
v=(-1,0,0).
O vetor que liga P_0 a A é
A-P_0 = (-1,1,1)-(5,0,1)=(-6,1,0).
Passo 4
Calculemos o produto vetorial (A-P_0)\times v. Usando a fórmula para o produto vetorial,
Interpretação geométrica (para fixar a ideia): a reta r é paralela ao eixo x (vetor direção (-1,0,0)) e está localizada em y=0,\,z=1. O ponto A tem z=1 também, mas y=1. Assim a menor distância entre A e a reta é simplesmente a diferença em y, ou seja 1. Isso confirma o cálculo anterior e ajuda a entender rapidamente casos parecidos na prova.