4 { }^{\text {a }} ) Um sistema de 1 GDL possui uma frequência natural de 5 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e um fator de amortecimento de 20 \%. As condições iniciais são 0 pol e 20 \mathrm{pol} / \mathrm{s}. Determine a frequência natural amortecida em Hz e a expressão do movimento do sistema

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a frequência natural amortecida em Hz.
  2. Determinar a expressão do movimento x(t) do sistema, dadas as condições iniciais.
As informações fornecidas são:
\omega_n = 5\\ \mathrm{rad/s} (frequência natural não amortecida),
\zeta = 0,20 (fator de amortecimento),
condições iniciais: x(0)=0 e \dot{x}(0)=20\\ \text{pol/s}.
Nada mais será pedido — vamos usar essas informações para achar a frequência amortecida e a solução temporal do sistema.

Passo 2

Entendendo as fórmulas básicas (mini-aula rápida e direta):
  • Para um sistema de 1 GDL subamortecido (quando 0<\zeta<1), a frequência natural amortecida em rad/s é dada por
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Aqui \omega_n é a frequência natural sem amortecimento (em rad/s) e \zeta é o fator de amortecimento adimensional. A ideia física: o amortecimento reduz levemente a frequência do oscilador; \omega_d é a frequência real das oscilações atenuadas.
  • A forma geral da resposta livre subamortecida (solução da EDO homogênea) é
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\left(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\right),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Outra forma equivalente é
x(t)=X_0\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t+\varphi),
mas usaremos a forma com A e B porque é direta para aplicar x(0) e \dot{x}(0).

Passo 3

Calculemos \omega_d usando a fórmula:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Substituindo os valores:
\omega_d=5\sqrt{1-(0,20)^2}=5\sqrt{1-0,04}=5\sqrt{0,96}.
Agora fazemos a raiz:
\sqrt{0,96}\approx 0,9797958971,
portanto
\omega_d \approx 5\cdot 0,9797958971 \approx 4,8989794856\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Converter \omega_d de rad/s para Hz (ciclos por segundo): a relação é
f_d=\frac{\omega_d}{2\pi},
onde 2\pi é o número de radianos por ciclo. Assim
f_d=\frac{4,8989794856}{2\pi}\approx 0,779696802\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando razoavelmente para a prova: f_d\approx 0,780\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Agora achamos a solução completa x(t) e usamos as condições iniciais para determinar A e B. Relembrando a forma geral:
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\big(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\big).
Primeira condição, em t=0:
x(0)=A=0,
porque e^{0}=1, \cos(0)=1, \sin(0)=0 e foi dado x(0)=0. Então A=0.

Passo 6

Agora usamos a segunda condição para achar B. Calculamos a derivada \dot{x}(t). Usamos regra do produto e derivada das funções trigonométricas:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\left[e^{-\zeta\omega_n t}\right]\big(A\cos\omega_d t+B\sin\omega_d t\big) +e^{-\zeta\omega_n t}\frac{d}{dt}\big(A\cos\omega_d t+B\sin\omega_d t\big).
Isso dá, reorganizando,
\dot{x}(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\Big[-\zeta\omega_n(A\cos\omega_d t+B\sin\omega_d t)-A\omega_d\sin\omega_d t+B\omega_d\cos\omega_d t\Big].
Agora avaliamos em t=0. Lembre que A=0, \cos(0)=1, \sin(0)=0, e^{0}=1. Assim
\dot{x}(0)=-\zeta\omega_n\cdot A + B\omega_d = B\omega_d.
Mas foi dado \dot{x}(0)=20\\ \text{pol/s}. Então
B=\frac{\dot{x}(0)}{\omega_d}=\frac{20}{4,8989794856}\approx 4,082482903.
Note uma simplificação elegante: como \zeta\omega_n=0,2\cdot5=1, muitas expressões ficam mais simples no expoente (ver passo seguinte).

Passo 7

Com A=0 e o valor de B encontrado, a solução final é
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\,B\sin(\omega_d t).
Substituindo \zeta\omega_n=0{,}2\cdot5=1, \omega_d\approx 4{,}8989794856 e B\approx 4{,}082482903, temos
x(t)\approx 4{,}082482903\,e^{-t}\sin\big(4{,}898979486\,t\big),
onde x está em \text{pol} (pol) e t em segundos. Esta é a expressão do movimento — é uma senoide com amplitude decrescente exponencialmente com constante de tempo 1\\ \mathrm{s} (porque \zeta\omega_n=1).

Resposta

f_d \approx 0,7797\\ \mathrm{Hz}
x(t)=4{,}082482903\,e^{-t}\sin\big(4{,}898979486\,t\big)\\ \text{(pol)}

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