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) Um sistema de 1 GDL possui uma frequência natural de
e um fator de amortecimento de
. As condições iniciais são 0 pol e
. Determine a frequência natural amortecida em Hz e a expressão do movimento do sistema
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a frequência natural amortecida em Hz.
- Determinar a expressão do movimento
do sistema, dadas as condições iniciais.
As informações fornecidas são:
(frequência natural não amortecida),
(fator de amortecimento),
condições iniciais: e
.
condições iniciais:
Nada mais será pedido — vamos usar essas informações para achar a frequência amortecida e a solução temporal do sistema.
Passo 2
Entendendo as fórmulas básicas (mini-aula rápida e direta):
- Para um sistema de 1 GDL subamortecido (quando
), a frequência natural amortecida em rad/s é dada por
Aqui
é a frequência natural sem amortecimento (em rad/s) e
é o fator de amortecimento adimensional. A ideia física: o amortecimento reduz levemente a frequência do oscilador;
é a frequência real das oscilações atenuadas.
- A forma geral da resposta livre subamortecida (solução da EDO homogênea) é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Outra forma equivalente é
mas usaremos a forma com
e
porque é direta para aplicar
e
.
Passo 3
Calculemos
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Agora fazemos a raiz:
portanto
Passo 4
Converter
de rad/s para Hz (ciclos por segundo): a relação é
onde
é o número de radianos por ciclo. Assim
Arredondando razoavelmente para a prova:
.
Passo 5
Agora achamos a solução completa
e usamos as condições iniciais para determinar
e
. Relembrando a forma geral:
Primeira condição, em
:
porque
,
,
e foi dado
. Então
.
Passo 6
Agora usamos a segunda condição para achar
. Calculamos a derivada
. Usamos regra do produto e derivada das funções trigonométricas:
Isso dá, reorganizando,
Agora avaliamos em
. Lembre que
,
,
,
. Assim
Mas foi dado
. Então
Note uma simplificação elegante: como
, muitas expressões ficam mais simples no expoente (ver passo seguinte).
Passo 7
Com
e o valor de
encontrado, a solução final é
Substituindo
,
e
, temos
onde
está em
(pol) e
em segundos. Esta é a expressão do movimento — é uma senoide com amplitude decrescente exponencialmente com constante de tempo
(porque
).