3a) Um peso de
está suspenso por uma mola com
. O sistema é amortecido de forma crítica. Se a massa for deslocada para uma posição de
da linha de equilíbrio estático e então for solta, determinar o coef. de amortecimento, a expressão do deslocamento em função do tempo e o deslocamento para os tempos 0,
e 1 s .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
- Dados fornecidos:
o sistema é amortecido criticamente, e a massa é deslocada
a partir da posição de equilíbrio estático e então solta (portanto velocidade inicial nula).
- O que se pede:
- Determinar o coeficiente de amortecimento crítico
. - Determinar a expressão do deslocamento
em função do tempo, usando as condições iniciais dadas. - Calcular os valores de
em e .
- Determinar o coeficiente de amortecimento crítico
Observação: para passar de peso para massa usaremos a relação usual
, adotando
.
Passo 2
Converter o peso em massa (a mola reage à massa). A relação entre peso
e massa
é
onde
é a aceleração da gravidade. Então
Substituindo os dados:
Agora calculamos esse quociente (faço a conta passo a passo):
Explicando: isso significa que a massa que provoca o peso de
é cerca de
.
Passo 3
Apresentar a equação de movimento e o caso de amortecimento crítico.
- A equação para um oscilador massa-mola-amortecedor linear é
onde
é o deslocamento em relação ao equilíbrio estático,
é a massa,
o coeficiente de amortecimento e
a constante elástica da mola.
- Para o caso de amortecimento crítico, as raízes características são reais e iguais. A condição de amortecimento crítico é
onde
é a frequência natural não amortecida,
Explicando:
tem unidade
e representa a taxa angular natural do sistema sem amortecimento;
é o valor de
que separa amortecimento subcrítico (oscilatório) do supercrítico (não oscilatório).
Passo 4
Calcular
numericamente.
Usando
Faço a divisão e a raiz:
Explicando:
. Guarde esse valor para o cálculo de
.
Passo 5
Calcular o coeficiente de amortecimento crítico
.
Usamos
Substituindo
e
:
Interpretação: esse é o valor de
que torna o sistema criticamente amortecido.
Passo 6
Escrever a solução geral para o caso criticamente amortecido e aplicar condições iniciais.
- Para amortecimento crítico (raízes iguais
com ), a solução geral é
onde
.
- Agora aplicamos as condições iniciais. O enunciado diz que a massa é deslocada até
a partir do equilíbrio estático e solta, ou seja .
Primeiro, em
:
Derivando
:
Em
isso dá
Impondo
segue
Passo 7
Substituir as constantes e escrever
final.
Como
e
, obtemos
Substituindo
e
, a expressão numérica fica
Explicando pedagogicamente: para amortecimento crítico a solução tem esse formato
; a presença do termo linear em
permite que a resposta decaia sem oscilar, com amortecimento o mais “lento” possível mantendo raízes reais iguais.
Passo 8
Calcular
nos instantes pedidos.
Usamos a fórmula
- Para
:
-
Para
: calcule . -
Para
: calcule . -
Para
: calcule . ou seja efetivamente zero em escala prática (o decaimento exponencial é brutal paracom essa ).