3a) Um peso de 85,88 \mathrm{~N} está suspenso por uma mola com k=7880,85 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema é amortecido de forma crítica. Se a massa for deslocada para uma posição de 0,1016 \mathrm{~m} da linha de equilíbrio estático e então for solta, determinar o coef. de amortecimento, a expressão do deslocamento em função do tempo e o deslocamento para os tempos 0, 01 ; 0,1 e 1 s .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem específicas.
  • Dados fornecidos: \text{peso (força)}=85,88\\ \mathrm{N},ç
k=7880,85\\ \mathrm{N/m},
o sistema é amortecido criticamente, e a massa é deslocada 0,1016\\ \mathrm{m} a partir da posição de equilíbrio estático e então solta (portanto velocidade inicial nula).
  • O que se pede:
    1. Determinar o coeficiente de amortecimento crítico c.
    2. Determinar a expressão do deslocamento x(t) em função do tempo, usando as condições iniciais dadas.
    3. Calcular os valores de x(t) em t=0,\;0,01,\;0,1 e 1\\ \mathrm{s}.
Observação: para passar de peso para massa usaremos a relação usual \,W=mg, adotando g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Converter o peso em massa (a mola reage à massa). A relação entre peso W e massa m é
W=mg,
onde g é a aceleração da gravidade. Então
m=\frac{W}{g}.
Substituindo os dados:
m=\frac{85,88}{9,81}.
Agora calculamos esse quociente (faço a conta passo a passo):
m\approx 8,75433\\ \mathrm{kg}.
Explicando: isso significa que a massa que provoca o peso de 85,88\\ \mathrm{N} é cerca de 8,75433\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Apresentar a equação de movimento e o caso de amortecimento crítico.
  • A equação para um oscilador massa-mola-amortecedor linear é
m\,x''(t)+c\,x'(t)+k\,x(t)=0,
onde x(t) é o deslocamento em relação ao equilíbrio estático, m é a massa, c o coeficiente de amortecimento e k a constante elástica da mola.
  • Para o caso de amortecimento crítico, as raízes características são reais e iguais. A condição de amortecimento crítico é
c=c_{\text{cr}}=2m\omega_n,
onde \omega_n é a frequência natural não amortecida,
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando: \omega_n tem unidade \mathrm{rad/s} e representa a taxa angular natural do sistema sem amortecimento; c_{\text{cr}} é o valor de c que separa amortecimento subcrítico (oscilatório) do supercrítico (não oscilatório).

Passo 4

Calcular \omega_n numericamente.
Usando
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{7880,85}{8,75433}}.
Faço a divisão e a raiz:
\frac{7880,85}{8,75433}\approx 900,214\quad\Rightarrow\quad \omega_n\approx\sqrt{900,214}\approx 30,0036\\ \mathrm{s^{-1}}.
Explicando: \omega_n\approx 30{,}00\\ \mathrm{rad/s}. Guarde esse valor para o cálculo de c_{\text{cr}}.

Passo 5

Calcular o coeficiente de amortecimento crítico c_{\text{cr}}.
Usamos
c_{\text{cr}}=2m\omega_n.
Substituindo m e \omega_n:
c_{\text{cr}}=2\cdot 8,75433 \cdot 30,0036 \approx 525,32\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Interpretação: esse é o valor de c que torna o sistema criticamente amortecido.

Passo 6

Escrever a solução geral para o caso criticamente amortecido e aplicar condições iniciais.
  • Para amortecimento crítico (raízes iguais -\alpha com \alpha=\omega_n), a solução geral é
x(t)=(C_1 + C_2 t)e^{-\alpha t},
onde \alpha=\omega_n.
  • Agora aplicamos as condições iniciais. O enunciado diz que a massa é deslocada até x(0)=0,1016\\ \mathrm{m} a partir do equilíbrio estático e solta, ou seja x'(0)=0.
Primeiro, em t=0:
x(0)=C_1=0,1016.
Derivando x(t):
x'(t)=C_2 e^{-\alpha t}-(C_1 + C_2 t)\alpha e^{-\alpha t}=e^{-\alpha t}\big(C_2-\alpha C_1 -\alpha C_2 t\big).
Em t=0 isso dá
x'(0)=C_2-\alpha C_1.
Impondo x'(0)=0 segue
C_2=\alpha C_1.

Passo 7

Substituir as constantes e escrever x(t) final.
Como C_1=0,1016 e C_2=\alpha C_1, obtemos
x(t)=C_1\big(1+\alpha t\big)e^{-\alpha t}.
Substituindo \alpha=\omega_n\approx 30,0036 e C_1=0,1016, a expressão numérica fica
x(t)=0,1016\big(1+30,0036\,t\big)e^{-30,0036\,t}\quad(\mathrm{m}).
Explicando pedagogicamente: para amortecimento crítico a solução tem esse formato (\text{constante}+\text{constante}\cdot t)e^{-\alpha t}; a presença do termo linear em t permite que a resposta decaia sem oscilar, com amortecimento o mais “lento” possível mantendo raízes reais iguais.

Passo 8

Calcular x(t) nos instantes pedidos.
Usamos a fórmula
x(t)=0,1016\big(1+30,0036\,t\big)e^{-30,0036\,t}.
  • Para t=0:
x(0)=0,1016\big(1+0\big)e^{0}=0,1016\\ \mathrm{m}.
  • Para t=0,01\\ \mathrm{s}: calcule \alpha t=30,0036\cdot 0,01=0,300036.
    x(0,01)=0,1016\big(1+0,300036\big)e^{-0,300036}\approx 0,1016\cdot 1,300036\cdot 0,74079\approx 0,09785\\ \mathrm{m}.
  • Para t=0,1\\ \mathrm{s}: calcule \alpha t=30,0036\cdot 0,1=3,00036.
    x(0,1)=0,1016\big(1+3,00036\big)e^{-3,00036}\approx 0,1016\cdot 4,00036\cdot 0,04977\approx 0,02023\\ \mathrm{m}.
  • Para t=1\\ \mathrm{s}: calcule \alpha t\approx 30,0036.
    x(1)=0,1016\big(1+30,0036\big)e^{-30,0036}\approx 0,1016\cdot 31,0036\cdot e^{-30,0036}\approx 2,94\times 10^{-13}\\ \mathrm{m},
    ou seja efetivamente zero em escala prática (o decaimento exponencial é brutal para t=1\\ \mathrm{s} com essa \alpha).

Resposta

c_{\text{cr}}=525,32\\ \mathrm{N\cdot s/m}
x(t)=0,1016\big(1+30,0036\,t\big)e^{-30,0036\,t}\\ \mathrm{m}
x(0)=0,1016\\ \mathrm{m},\\ x(0,01)\approx 0,09785\\ \mathrm{m},\\ x(0,1)\approx 0,02023\\ \mathrm{m},\\ x(1)\approx 2,94\times 10^{-13}\\ \mathrm{m}

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