O eixo de uma bomba centrífuga para bombeamento de água do mar é submetido a uma força axial de
. Se o eixo é de aço, onde
e
GPa , e fator de segurança é igual a 1,5 , calcule:
a) O diâmetro para vida infinita.
b) O diâmetro para vida de
ciclos. Utilize o critério de Goodman
a) O diâmetro para vida infinita.
b) O diâmetro para vida de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Força axial aplicada no eixo: há uma componente alternada de magnitude
(estou interpretando o termo como a amplitude alternada) e uma componente média de . Ou seja: - Material do eixo (aço) com propriedades:
- Fator de segurança:
- Pedidos:
(a) calcular o diâmetro para vida infinita;
(b) calcular o diâmetro para vida deciclos;
para (b) usar o critério de Goodman.
Observação importante (interpretação que vou usar): o enunciado fornece a componente alternada
e a componente média
. Vou aplicar o critério de Goodman em forma conveniente que inclui o fator de segurança:
onde
é a resistência à fadiga (endurance) relevante (para vida infinita uso o limite de fadiga; para
ciclos uso um valor aproximado da resistência à fadiga para esse número de ciclos). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição das tensões axiais (fórmulas básicas) e conversão de unidades.
- Para carregamento axial uniforme, a tensão normal (média ou alternante) é a força dividida pela área da seção transversal circular do eixo:
- Logo, a tensão alternante (amplitude) e a tensão média são:
Explico:
é o diâmetro do eixo (em mm),
é a área em
. Usaremos MPa como unidade de tensão (1 MPa =
). Por isso
em N dividido por
em
dá MPa.
Passo 3
Apresentação do critério de Goodman e como incorporar o fator de segurança.
- A forma linear de Goodman, usada quando se considera efeito de tensão média, é:
- Para incluir o fator de segurança
de forma direta, colocamos o lado direito igual a :
Isto significa: a combinação normalizada das tensões alternante e média não deve exceder
. Essa é uma forma prática de garantir a margem de segurança.
Passo 4
Escolha dos valores de
(resistência à fadiga) para os dois casos.
- Para vida “infinita” (caso típico em muitos problemas): usa-se a estimativa simples para a resistência à fadiga de aços bons polidos:
Aqui,
, logo
Explicação curta: muitos aços mostram um “limite de fadiga” em torno de metade do
para amostras bem preparadas; é uma aproximação padrão quando não são dados fatores de superfície, tamanho, etc.
- Para
ciclos (número de ciclos pequeno, carga mais próxima de carregamento estático), a resistência à fadiga é maior; uma aproximação prática é:
Justificativa: no diagrama
-
, em ciclos baixos (por exemplo
) o nível de tensão que ainda causa falha está bem próximo de
; 0,9 é uma aproximação usada em problemas de sala de aula quando dados experimentais não são fornecidos.
Passo 5
Montagem da desigualdade de projeto em função do diâmetro
.
Substituindo
e
na expressão de Goodman com fator
:
Fatorando
:
Isolando
:
Portanto:
Esta fórmula dá o diâmetro mínimo que satisfaz o critério de Goodman com fator de segurança
, para qualquer escolha de
.
Passo 6
Cálculo numérico do diâmetro para vida infinita (item a).
Usamos:
Primeiro calcule o termo dentro dos parênteses:
Agora:
Calculando numericamente (usando
):
Arredondando de forma prática para projeto:
Passo 7
Cálculo numérico do diâmetro para
ciclos usando Goodman (item b).
Agora usamos
(aproximação explicada antes), e os outros valores iguais:
Aplicando a fórmula:
Numericamente:
Arredondando:
Passo 8
Interpretação e comentário final — incentivo breve.
- Conclusão prática: os diâmetros calculados são muito pequenos (aprox.
) porque as forças envolvidas são moderadas e o aço tem resistência alta. Em projeto real deve-se considerar fatores adicionais: acabamento superficial, concentração de tensões, fatores de tamanho, de carregamento, fadiga multiaxial, tratamentos térmicos, e uso de diâmetros mínimos comerciais (roscas, alojamentos etc.). - Você já tirou o mais difícil: montar a desigualdade e isolar
. Com isso, num exame você pode repetir esse raciocínio: obtenha e a partir de e , escolha apropriado, e aplique Goodman com o fator de segurança.
Resposta
(a)
(b)
(b)