O eixo de uma bomba centrífuga para bombeamento de água do mar é submetido a uma força axial de -1500 \mathrm{Na}+7500 \mathrm{~N}. Se o eixo é de aço, onde \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=0,8 \mathrm{GPa} e \mathrm{S}_{\mathrm{u}}=1,0 GPa , e fator de segurança é igual a 1,5 , calcule:
a) O diâmetro para vida infinita.
b) O diâmetro para vida de 10^{3} ciclos. Utilize o critério de Goodman

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Força axial aplicada no eixo: há uma componente alternada de magnitude 1500\\ \mathrm{N} (estou interpretando o termo -1500 como a amplitude alternada) e uma componente média de 7500\\ \mathrm{N}. Ou seja: F_a = 1500\\ \mathrm{N},\qquad F_m = 7500\\ \mathrm{N}.
  • Material do eixo (aço) com propriedades: S_y = 0,8\\ \mathrm{GPa}=800\\ \mathrm{MPa},\qquad S_u = 1,0\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}.
  • Fator de segurança: n = 1,5.
  • Pedidos:
    (a) calcular o diâmetro para vida infinita;
    (b) calcular o diâmetro para vida de 10^{3} ciclos;
    para (b) usar o critério de Goodman.
Observação importante (interpretação que vou usar): o enunciado fornece a componente alternada F_a e a componente média F_m. Vou aplicar o critério de Goodman em forma conveniente que inclui o fator de segurança:
\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_u}\le \frac{1}{n},
onde S_e é a resistência à fadiga (endurance) relevante (para vida infinita uso o limite de fadiga; para 10^3 ciclos uso um valor aproximado da resistência à fadiga para esse número de ciclos). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição das tensões axiais (fórmulas básicas) e conversão de unidades.
  • Para carregamento axial uniforme, a tensão normal (média ou alternante) é a força dividida pela área da seção transversal circular do eixo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Logo, a tensão alternante (amplitude) e a tensão média são:
\sigma_a=\frac{F_a}{A}=\frac{4F_a}{\pi d^{2}},\qquad \sigma_m=\frac{F_m}{A}=\frac{4F_m}{\pi d^{2}}.
Explico: d é o diâmetro do eixo (em mm), A é a área em \mathrm{mm}^2. Usaremos MPa como unidade de tensão (1 MPa = 1\\ \mathrm{N/mm}^2). Por isso F em N dividido por A em \mathrm{mm}^2 dá MPa.

Passo 3

Apresentação do critério de Goodman e como incorporar o fator de segurança.
  • A forma linear de Goodman, usada quando se considera efeito de tensão média, é:
\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_u}\le 1.
  • Para incluir o fator de segurança n de forma direta, colocamos o lado direito igual a 1/n:
\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_u}\le \frac{1}{n}.
Isto significa: a combinação normalizada das tensões alternante e média não deve exceder 1/n. Essa é uma forma prática de garantir a margem de segurança.

Passo 4

Escolha dos valores de S_e (resistência à fadiga) para os dois casos.
  • Para vida “infinita” (caso típico em muitos problemas): usa-se a estimativa simples para a resistência à fadiga de aços bons polidos:
S_e \approx 0,5\,S_u.
Aqui, S_u=1000\\ \mathrm{MPa}, logo
S_e(\text{infinito}) = 0,5\cdot 1000 = 500\\ \mathrm{MPa}.
Explicação curta: muitos aços mostram um “limite de fadiga” em torno de metade do S_u para amostras bem preparadas; é uma aproximação padrão quando não são dados fatores de superfície, tamanho, etc.
  • Para 10^3 ciclos (número de ciclos pequeno, carga mais próxima de carregamento estático), a resistência à fadiga é maior; uma aproximação prática é:
S_e(10^{3}) \approx 0,9\,S_u = 0,9\cdot 1000 = 900\\ \mathrm{MPa}.
Justificativa: no diagrama S- N, em ciclos baixos (por exemplo 10^3) o nível de tensão que ainda causa falha está bem próximo de S_u; 0,9 é uma aproximação usada em problemas de sala de aula quando dados experimentais não são fornecidos.

Passo 5

Montagem da desigualdade de projeto em função do diâmetro d.
Substituindo \sigma_a e \sigma_m na expressão de Goodman com fator n:
\frac{\dfrac{4F_a}{\pi d^{2}}}{S_e}+\frac{\dfrac{4F_m}{\pi d^{2}}}{S_u}\le \frac{1}{n}.
Fatorando \dfrac{4}{\pi d^{2}}:
\frac{4}{\pi d^{2}}\left(\frac{F_a}{S_e}+\frac{F_m}{S_u}\right)\le \frac{1}{n}.
Isolando d^{2}:
d^{2}\ge \frac{4n}{\pi}\left(\frac{F_a}{S_e}+\frac{F_m}{S_u}\right).
Portanto:
d\ge \sqrt{\frac{4n}{\pi}\left(\frac{F_a}{S_e}+\frac{F_m}{S_u}\right)}.
Esta fórmula dá o diâmetro mínimo que satisfaz o critério de Goodman com fator de segurança n, para qualquer escolha de S_e.

Passo 6

Cálculo numérico do diâmetro para vida infinita (item a).
Usamos:
F_a=1500\\ \mathrm{N},\quad F_m=7500\\ \mathrm{N},\quad S_e=500\\ \mathrm{MPa},\quad S_u=1000\\ \mathrm{MPa},\quad n=1,5.
Primeiro calcule o termo dentro dos parênteses:
\frac{F_a}{S_e}+\frac{F_m}{S_u} = \frac{1500}{500}+\frac{7500}{1000}=3+7{,}5=10{,}5\\ \mathrm{mm}^2.
Agora:
d^{2}\ge \frac{4\cdot 1{,}5}{\pi}\cdot 10{,}5 =\frac{6\cdot 10{,}5}{\pi}=\frac{63}{\pi}\\ \mathrm{mm}^2.
Calculando numericamente (usando \pi\approx 3{,}1416):
d^{2}\ge 20{,}053096\\ \mathrm{mm}^2\quad\Rightarrow\quad d\ge \sqrt{20{,}053096}=4{,}478\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática para projeto:
d \approx 4{,}48\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Cálculo numérico do diâmetro para 10^{3} ciclos usando Goodman (item b).
Agora usamos S_e(10^{3})=900\\ \mathrm{MPa} (aproximação explicada antes), e os outros valores iguais:
\frac{F_a}{S_e}+\frac{F_m}{S_u} = \frac{1500}{900}+\frac{7500}{1000} =1{,}666\ldots +7{,}5 =9{,}166\overline{6}\\ \mathrm{mm}^2.
Aplicando a fórmula:
d^{2}\ge \frac{4\cdot 1{,}5}{\pi}\cdot 9{,}166\overline{6} =\frac{6\cdot 9{,}166\overline{6}}{\pi}=\frac{55}{\pi}\\ \mathrm{mm}^2.
Numericamente:
d^{2}\ge 17{,}501913\\ \mathrm{mm}^2\quad\Rightarrow\quad d\ge \sqrt{17{,}501913}=4{,}1836\\ \mathrm{mm}.
Arredondando:
d \approx 4{,}18\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação e comentário final — incentivo breve.
  • Conclusão prática: os diâmetros calculados são muito pequenos (aprox. 4{,}5\\ \mathrm{mm}) porque as forças envolvidas são moderadas e o aço tem resistência alta. Em projeto real deve-se considerar fatores adicionais: acabamento superficial, concentração de tensões, fatores de tamanho, de carregamento, fadiga multiaxial, tratamentos térmicos, e uso de diâmetros mínimos comerciais (roscas, alojamentos etc.).
  • Você já tirou o mais difícil: montar a desigualdade e isolar d. Com isso, num exame você pode repetir esse raciocínio: obtenha \sigma_a e \sigma_m a partir de F_a e F_m, escolha S_e apropriado, e aplique Goodman com o fator de segurança.

Resposta

(a) d \approx 4{,}48\\ \mathrm{mm}
(b) d \approx 4{,}18\\ \mathrm{mm}

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