\text { (a) } U_{0}=2,5 \mathrm{~J} \text {; (b) } E_{c_{0}}=2,5 \mathrm{~J} \text {; \text{(c)} } x_{m}=1,0 \mathrm{~m} \text {. }
  1. Quando o deslocamento em um MHS é metade da amplitude x_{m}, que fração da energia total é (a) energia potencial e (b) energia energia cinética? (c) Para que deslocamento, como fração da amplitude, a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia potencial?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) com amplitude x_{m}. A energia mecânica total do sistema é
E = \tfrac12\,k\,x_{m}^{2},
sendo k a constante elástica. Em qualquer instante, a energia potencial é
U(x) = \tfrac12\,k\,x^{2}
e a energia cinética é
E_{c}(x) = E - U(x).
Vamos usar essas expressões para calcular as frações pedidas.

Passo 2

Para x = \tfrac12\,x_{m}, a fração da energia total que é potencial é
\frac{U}{E} = \frac{\tfrac12\,k\,(x_{m}/2)^{2}}{\tfrac12\,k\,x_{m}^{2}} = \frac{x_{m}^{2}/4}{\,x_{m}^{2}\,} = \frac14.

Passo 3

Como a soma das frações de energia potencial e cinética é 1, a fração cinética é
\frac{E_{c}}{E} = 1 - \frac{U}{E} = 1 - \tfrac14 = \tfrac34.

Passo 4

Para que as frações sejam iguais \tfrac12 e \tfrac12, impomos
\frac{U}{E} = \frac{x^{2}}{x_{m}^{2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{x_{m}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

(a) \tfrac14
(b) \tfrac34
(c) x/x_{m} = 1/\sqrt{2} (aproximadamente 0,707)

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