O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
  1. Um cocho tem 6 m de comprimento, e suas extremidades têm a forma de triângulos isósceles com 1 m de base e 50 cm de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de 1,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, quão rápido o nível da água estará subindo quando ela tiver 30 cm de profundidade?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vou usar, sem começar a resolver ainda):
  • Comprimento do cocho: 6\\ \text{m}.
  • As extremidades do cocho são triângulos isósceles com base 1\\ \text{m} e altura 0,5\\ \text{m}.
  • A água entra no cocho à taxa \dfrac{dV}{dt}=1,2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
  • Questão: quão rápido o nível da água (profundidade) está subindo, ou seja, encontrar \dfrac{dh}{dt}, quando a profundidade é h=0,3\\ \text{m}.
Observação: por “profundidade” h entenda a altura vertical da coluna de água medida a partir do fundo do triângulo até a superfície da água.

Passo 2

Relacionar a geometria da seção triangular preenchida com a profundidade h.
Explicação didática (sem pular etapas): quando o triângulo é preenchido até uma altura h menor que a altura total do triângulo, a parte preenchida é um triângulo semelhante ao triângulo total. “Triângulos semelhantes” significa que as razões entre comprimentos correspondentes são iguais. Assim, a base da água b está na mesma proporção da altura h em relação à base total e altura total do triângulo.
Usando proporção:
\frac{b}{h}=\frac{1}{0,5}.
Calcule a razão do lado direito:
\frac{1}{0,5}=2.
Logo,
b=2h.

Passo 3

Área da seção triangular ocupada pela água em função de h.
Lembrete da fórmula: a área de um triângulo é
A=\tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}).
Aqui a base é b e a “altura” do triângulo (no corte) é h. Substituindo b=2h:
A=\tfrac{1}{2}\cdot(2h)\cdot h = h^2.
Verificação rápida de consistência: quando h=0,5 (triângulo cheio), A=(0,5)^2=0,25\\ \text{m}^2, que coincide com \tfrac{1}{2}\cdot1\cdot0,5=0,25\\ \text{m}^2. Está certo.

Passo 4

Volume de água V em função de h.
O volume do líquido no cocho é a área da seção transversal multiplicada pelo comprimento do cocho (porque o cocho tem seção constante ao longo do comprimento):
V = (\text{comprimento})\times A = 6\cdot h^2.
Portanto
V=6h^2.
Unidades: V em \mathrm{m}^3 quando h está em metros.

Passo 5

Relacionar as taxas: derivação em relação ao tempo.
Queremos \dfrac{dh}{dt} dado \dfrac{dV}{dt}. Diferenciando ambos os lados de V=6h^2 em relação ao tempo t (aplicando a regra da cadeia), temos:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(6h^2\bigr) = 6\cdot 2h\cdot\frac{dh}{dt}=12h\frac{dh}{dt}.
Explicando a regra: a derivada de h^2 em relação a t é 2h\cdot dh/dt.
Isolando \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{12h}\,\frac{dV}{dt}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular.
Dados: \dfrac{dV}{dt}=1,2\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} e h=0,3\\ \text{m}. Substituindo na expressão anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{12\cdot 0,3}\cdot 1,2.
Calcule o denominador:
12\cdot 0,3=3,6.
Portanto
\frac{dh}{dt}=\frac{1,2}{3,6}=\frac{1}{3}=0,333\ldots\\ \text{m/min}.
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que quando a água está com 30\\ \text{cm} de profundidade, o nível sobe cerca de 0,333\\ \text{m} (ou 33,3\\ \text{cm}) por minuto — é uma subida rápida porque a seção ainda é relativamente estreita; calma, esse número faz sentido pela fórmula A=h^2: para alturas pequenas a área é pequena, então um fluxo volumétrico fixo aumenta rapidamente a altura.

Resposta

\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{3}\\ \text{m/min}

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