O texto base é Seção 9 do Capítulo 3, de [1]
- Um cocho tem 6 m de comprimento, e suas extremidades têm a forma de triângulos isósceles com 1 m de base e 50 cm de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma taxa de
, quão rápido o nível da água estará subindo quando ela tiver 30 cm de profundidade?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vou usar, sem começar a resolver ainda):
- Comprimento do cocho:
. - As extremidades do cocho são triângulos isósceles com base
e altura . - A água entra no cocho à taxa
. - Questão: quão rápido o nível da água (profundidade) está subindo, ou seja, encontrar
, quando a profundidade é .
Observação: por “profundidade”
entenda a altura vertical da coluna de água medida a partir do fundo do triângulo até a superfície da água.
Passo 2
Relacionar a geometria da seção triangular preenchida com a profundidade
.
Explicação didática (sem pular etapas): quando o triângulo é preenchido até uma altura
menor que a altura total do triângulo, a parte preenchida é um triângulo semelhante ao triângulo total. “Triângulos semelhantes” significa que as razões entre comprimentos correspondentes são iguais. Assim, a base da água
está na mesma proporção da altura
em relação à base total e altura total do triângulo.
Usando proporção:
Calcule a razão do lado direito:
Logo,
Passo 3
Área da seção triangular ocupada pela água em função de
.
Lembrete da fórmula: a área de um triângulo é
Aqui a base é
e a “altura” do triângulo (no corte) é
. Substituindo
:
Verificação rápida de consistência: quando
(triângulo cheio),
, que coincide com
. Está certo.
Passo 4
Volume de água
em função de
.
O volume do líquido no cocho é a área da seção transversal multiplicada pelo comprimento do cocho (porque o cocho tem seção constante ao longo do comprimento):
Portanto
Unidades:
em
quando
está em metros.
Passo 5
Relacionar as taxas: derivação em relação ao tempo.
Queremos
dado
. Diferenciando ambos os lados de
em relação ao tempo
(aplicando a regra da cadeia), temos:
Explicando a regra: a derivada de
em relação a
é
.
Isolando
:
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular.
Dados:
e
. Substituindo na expressão anterior:
Calcule o denominador:
Portanto
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que quando a água está com
de profundidade, o nível sobe cerca de
(ou
) por minuto — é uma subida rápida porque a seção ainda é relativamente estreita; calma, esse número faz sentido pela fórmula
: para alturas pequenas a área é pequena, então um fluxo volumétrico fixo aumenta rapidamente a altura.