- Uma mola está presa ao teto. Quando uma massa de 30 kg é atada á mola, esta distende-se em 12 cm . A massa é removida e uma pessoa segura a extremidade da mola e começa a balançar para cima e para baixo com um período de 1 segundo. Qual é a massa dessa pessoa?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
- Dados do enunciado:
- Uma massa
é pendurada na mola e a mola se distende . - Depois a massa é removida e uma pessoa prende a extremidade livre e faz oscilar a mola com período
. - A aceleração da gravidade vale
. (Usarei .)
- Uma massa
- Conversões que vou fazer (peguei os números do enunciado):
-
.
-
- O que o enunciado pede:
- Determinar a massa da pessoa
que produz um período na oscilação da mola.
- Determinar a massa da pessoa
- Observação útil para a resolução:
- A mola obedece à Lei de Hooke (força elástica proporcional à deformação) e o movimento é o de um oscilador harmônico sobre uma mola vertical. Vou usar essas relações para calcular a constante elástica da mola e, em seguida, relacionar o período
com a massa que está oscilando.
- A mola obedece à Lei de Hooke (força elástica proporcional à deformação) e o movimento é o de um oscilador harmônico sobre uma mola vertical. Vou usar essas relações para calcular a constante elástica da mola e, em seguida, relacionar o período
Passo 2
Calcular a constante elástica da mola
usando a situação de equilíbrio com a massa de
.
Explicação didática da ideia: quando a massa
está ligada e a mola atinge o equilíbrio estático, o peso da massa (força para baixo) é compensado pela força elástica da mola (para cima). A Lei de Hooke diz que a força elástica é
, onde:
-
é a constante elástica da mola (em ), -
é a deformação da mola (em ).
No equilíbrio estático temos
. Portanto:
Isolando
:
Agora substituo os números (tudo em unidades SI):
Faço a conta passo a passo:
Portanto a constante elástica da mola é
.
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula do período do oscilador massa-mola e deduzir a expressão que usarei para
.
Explicação didática da teoria: para uma massa
ligada a uma mola ideal sem amortecimento, a equação do movimento é
que é a equação do oscilador harmônico simples. A solução é um movimento periódico com frequência angular
e período
Aqui:
-
é o período (segundos), -
é a massa que oscila (kg), -
é a constante elástica (N/m).
Agora isolo
para poder calcular a massa da pessoa a partir do período medido:
Passo 4
Substituir os valores conhecidos na fórmula e calcular a massa
.
Substituo
e
na expressão
Faço o cálculo passo a passo:
Portanto
Agora numérico:
Calculei numericamente (mostrando o passo):
Arredondando com razoável precisão, a massa da pessoa é aproximadamente
.
Passo 5
Checagem física e comentários (didáticos e encorajadores).
- Verificação dimensional:
tem unidade , e tem unidade ; o produto dá , como esperado. - Observação prática: foi assumido que a massa da mola é desprezível e que o movimento é quase harmônico (sem amortecimento significativo). Essas são hipóteses padrão em problemas de prova.
- Bom trabalho: apesar do enunciado curto, a solução usa duas ideias chave — equilíbrio estático para achar
(Lei de Hooke) e a relação período-massa para o oscilador harmônico — que são frequentemente requisitadas em provas. Você conseguiu acompanhar a receita!