1. Uma mola está presa ao teto. Quando uma massa de 30 kg é atada á mola, esta distende-se em 12 cm . A massa é removida e uma pessoa segura a extremidade da mola e começa a balançar para cima e para baixo com um período de 1 segundo. Qual é a massa dessa pessoa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Uma massa m_1 = 30\\ \text{kg} é pendurada na mola e a mola se distende \Delta x = 12\\ \text{cm}.
    • Depois a massa é removida e uma pessoa prende a extremidade livre e faz oscilar a mola com período T = 1\\ \text{s}.
    • A aceleração da gravidade vale g. (Usarei g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2.)
  • Conversões que vou fazer (peguei os números do enunciado):
    • \Delta x = 12\\ \text{cm} = 0{,}12\\ \text{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a massa da pessoa m que produz um período T = 1\\ \text{s} na oscilação da mola.
  • Observação útil para a resolução:
    • A mola obedece à Lei de Hooke (força elástica proporcional à deformação) e o movimento é o de um oscilador harmônico sobre uma mola vertical. Vou usar essas relações para calcular a constante elástica da mola e, em seguida, relacionar o período T com a massa que está oscilando.

Passo 2

Calcular a constante elástica da mola k usando a situação de equilíbrio com a massa de 30\\ \text{kg}.
Explicação didática da ideia: quando a massa m_1 está ligada e a mola atinge o equilíbrio estático, o peso da massa (força para baixo) é compensado pela força elástica da mola (para cima). A Lei de Hooke diz que a força elástica é F_{\text{el}} = k\,\Delta x, onde:
  • k é a constante elástica da mola (em \text{N/m}),
  • \Delta x é a deformação da mola (em \text{m}).
No equilíbrio estático temos F_{\text{el}} = \text{peso} = m_1 g. Portanto:
k\,\Delta x = m_1 g.
Isolando k:
k = \frac{m_1 g}{\Delta x}.
Agora substituo os números (tudo em unidades SI):
k = \frac{30\\ \text{kg}\times 9{,}8\\ \text{m/s}^2}{0{,}12\\ \text{m}}.
Faço a conta passo a passo:
30\times 9{,}8 = 294\\ \text{N},
k = \frac{294}{0{,}12} = 2450\\ \text{N/m}.
Portanto a constante elástica da mola é k = 2450\\ \text{N/m}.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula do período do oscilador massa-mola e deduzir a expressão que usarei para m.
Explicação didática da teoria: para uma massa m ligada a uma mola ideal sem amortecimento, a equação do movimento é
m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0,
que é a equação do oscilador harmônico simples. A solução é um movimento periódico com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},
e período
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Aqui:
  • T é o período (segundos),
  • m é a massa que oscila (kg),
  • k é a constante elástica (N/m).
Agora isolo m para poder calcular a massa da pessoa a partir do período medido:
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad \frac{m}{k} = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2
\Rightarrow\quad m = k\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na fórmula e calcular a massa m.
Substituo k = 2450\\ \text{N/m} e T = 1\\ \text{s} na expressão
m = k\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.
Faço o cálculo passo a passo:
\frac{T}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}.
\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \frac{1}{4\pi^2}.
Portanto
m = \frac{k}{4\pi^2}.
Agora numérico:
m = \frac{2450}{4\pi^2}.
Calculei numericamente (mostrando o passo):
\pi^2 \approx 9{,}8696044, \quad 4\pi^2 \approx 39{,}4784176.
m \approx \frac{2450}{39{,}4784176}\approx 62{,}06\\ \text{kg}.
Arredondando com razoável precisão, a massa da pessoa é aproximadamente 62{,}1\\ \text{kg}.

Passo 5

Checagem física e comentários (didáticos e encorajadores).
  • Verificação dimensional: k tem unidade \text{N/m}=\text{kg/s}^2, e \left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2 tem unidade \text{s}^2; o produto dá \text{kg}, como esperado.
  • Observação prática: foi assumido que a massa da mola é desprezível e que o movimento é quase harmônico (sem amortecimento significativo). Essas são hipóteses padrão em problemas de prova.
  • Bom trabalho: apesar do enunciado curto, a solução usa duas ideias chave — equilíbrio estático para achar k (Lei de Hooke) e a relação período-massa para o oscilador harmônico — que são frequentemente requisitadas em provas. Você conseguiu acompanhar a receita!

Resposta

62{,}1\\ \text{kg}

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