1. Texto Leia sobre a dicotomia do paradoxo de Zenon em alguma obra de referência apropriada e relate o paradoxo em algum contexto que lhe seja familiar. Discuta uma conexão entre o paradoxo e a série geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o paradoxo da dicotomia de Zenon, relacioná-lo com um contexto que você conheça bem (por exemplo, caminhar em um corredor, ler um livro, etc.) e discutir como isso se conecta à ideia de série geométrica.

Passo 2

O paradoxo da dicotomia de Zenon diz o seguinte: para chegar a um ponto de destino você primeiro precisa percorrer metade da distância total; depois, para avançar, precisa percorrer metade da distância que falta; e assim sucessivamente, ad infinitum. Como há infinitas metades, parece que você nunca alcançaria o destino, pois sempre restaria mais uma “metade” para andar.

Passo 3

Num contexto familiar — digamos, caminhar em um corredor de 10 metros — a lógica de Zenon ficaria assim:
Você anda 5 m (metade de 10 m),
a seguir 2{,}5 m (metade dos 5 m restantes),
depois 1{,}25 m, e assim por diante.
Parece que, por haver infinitos trechos, você nunca completaria os 10 m.

Passo 4

Agora entra a conexão com a série geométrica. As distâncias percorridas formam a sequência
10\Bigl(\tfrac12\Bigr),\;10\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2,\;10\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3,\;\dots
e a soma dessas parcelas é a série
\sum_{n=1}^{\infty}10\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n.
Como toda série geométrica de razão \lvert r\rvert<1 converge segundo
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n}=\frac{ar}{1-r},
aqui temos a=10 e r=\tfrac12, logo
\sum_{n=1}^{\infty}10\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n =\frac{10\cdot\frac12}{1-\frac12} =\frac{5}{\frac12} =10.
Ou seja, mesmo “infinitos” pedaços somam exatamente 10 m.

Passo 5

Dessa forma, o paradoxo some quando entendemos que uma soma infinita pode convergir a um valor finito. Embora haja infinitas etapas de “metade da distância”, o total percorrido é finito e igual à distância original. Em termos analíticos, a convergência da série geométrica resolve a aparente contradição de Zenon.

Resposta

O paradoxo da dicotomia de Zenon afirma que, por dividir sempre a trajetória em metades, nunca se alcançaria o fim. Num exemplo prático de caminhar 10 m, você anda 5 m, depois 2{,}5 m, depois 1{,}25 m e assim por diante. Essas distâncias formam a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}10\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n,
que, pela fórmula \sum_{n=1}^\infty ar^n=ar/(1-r) com a=10 e r=\tfrac12, soma exatamente 10. Assim, mesmo havendo infinitas subdivisões, o total é finito, desfazendo o paradoxo.

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