1. Texto Discuta as semelhanças e diferenças entre o que significa uma sequência convergir e o que significa uma série convergir.

Passo 1

O enunciado pede para compararmos o conceito de convergência de uma sequência com o conceito de convergência de uma série. O tema é Análise de Limites e Séries Infinitas. Vamos precisar das definições de cada convergência e das propriedades básicas (como o critério de Cauchy e a condição \lim a_n=0 para séries).

Passo 2

Definição de convergência de sequência: seja (a_n)_{n=1}^\infty uma sequência de números reais. Dizemos que (a_n) converge para L\in\mathbb{R} se
\lim_{n\to\infty}a_n = L,
isto é, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon.

Passo 3

Definição de convergência de série: seja \sum_{n=1}^\infty a_n uma série de termos a_n. Definimos a N-ésima soma parcial
s_N = \sum_{n=1}^N a_n.
A série converge se e somente se a sequência (s_N)_{N=1}^\infty converge, ou seja, existe S\in\mathbb{R} tal que
\lim_{N\to\infty}s_N = S.

Passo 4

Semelhanças:
  1. Em ambos os casos analisamos o limite de uma sequência ( a_n no primeiro, s_N no segundo).
  2. Podemos usar o critério de Cauchy:
  • Para sequência (a_n): \forall \varepsilon>0\\ \exists N:\\ \lvert a_m - a_n\rvert<\varepsilon se m,n\ge N.
  • Para série \sum a_n: \forall \varepsilon>0\\ \exists N:\\ \lvert a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{m}\rvert<\varepsilon se m>n\ge N.

Passo 5

Diferenças:
  1. Objeto de convergência diferente: sequência olha cada termo a_n, série olha a soma parcial s_N.
  2. Condição necessária para séries: se \sum a_n converge então
\lim_{n\to\infty}a_n = 0,
mas o recíproco não vale (termos tendendo a zero não garante convergência da soma).
3. Há muitos testes específicos para séries (comparação, razão, raiz etc.), enquanto para sequências basta o critério de limite simples ou de Cauchy.

Resposta

Semelhança principal: em ambos usamos limites de sequências e o critério de Cauchy.
Diferenças chave:
– sequência converge se seus termos a_n se aproximam de um mesmo L;
– série converge se as somas parciais s_N=\sum_{n=1}^N a_n têm limite finito S;
– para série é necessário a_n\to0, mas isso não basta, exigindo testes específicos de convergência.

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