The algebra rules for gradients Given a constant
and the gradients
and
use the scalar equations
and so on, to establish the following rules.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois escalares diferenciáveis
e
, vale a fórmula
Aqui usamos que
e as regras usuais de derivada parcial (constante, soma, produto e quociente).
e as regras usuais de derivada parcial (constante, soma, produto e quociente).
Passo 2
Calculamos primeiro a derivada parcial em relação a
. Pela regra do quociente
Passo 3
De modo análogo, para as outras coordenadas obtemos
Passo 4
Juntando as três componentes no vetor gradiente, temos
onde escrevemos
, etc. Reconhecendo
e
, chegamos a