If the allowable tensile stress for wires A B and A C is \sigma_{\text {allow }}=200 \mathrm{MPa}, determine the required diameter of each wire if the applied load is P=6 \mathrm{kN}.

Passo 1

Dados do enunciado que temos sem a figura: \sigma_{\text{allow}}=200\\ \mathrm{MPa} e P=6\\ \mathrm{kN}. O que o enunciado pede: determinar o diâmetro de cada fio AB e AC.
Informação faltante essencial: o enunciado não trouxe as posições geométricas/ângulos dos fios AB e AC (ou a figura que mostre essas direções). Sem os ângulos que os fios fazem em relação a um eixo, não é possível determinar numericamente as forças (tensões) em cada fio e, portanto, não é possível calcular os diâmetros numéricos. Vou, então, explicar passo a passo como se resolve a questão quando esses ângulos estiverem conhecidos e dar as fórmulas finais que você aplica diretamente ao chegar com a figura.

Passo 2

Relação tensão–força–área (a ferramenta básica): a tensão normal (tração) em um fio é dada por
\sigma=\frac{T}{A},
onde \sigma é a tensão (em \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}), T é a força de tração no fio (em \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal do fio (em \mathrm{mm^2}). Para um fio circular de diâmetro d,
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Isolando d da relação \sigma=T/A, obtemos a fórmula que usaremos para calcular o diâmetro requerido em função da força T:
d=\sqrt{\dfrac{4T}{\pi\sigma_{\text{allow}}}}.
Explicando as unidades e como trabalhar com elas: \mathrm{1\\ MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}. Aqui \sigma_{\text{allow}}=200\\ \mathrm{MPa}=200\\ \mathrm{N/mm^2}. Se T estiver em \mathrm{N}, então d sai em \mathrm{mm}.

Passo 3

Equilíbrio no nó onde os fios se encontram (nó A). Para determinar T_{AB} e T_{AC} precisamos das equações de equilíbrio (somatório de forças = 0). Defina os ângulos das cordas como \theta_{AB} e \theta_{AC} medidos em relação ao eixo horizontal (pode escolher outra referência, mas mantenha consistência). A força vertical aplicada é P (tipicamente para baixo). As equações de equilíbrio (projeções horizontal e vertical) são:
\text{(horizontal)}\quad T_{AB}\cos\theta_{AB}=T_{AC}\cos\theta_{AC},
\text{(vertical)}\quad T_{AB}\sin\theta_{AB}+T_{AC}\sin\theta_{AC}=P.
Aqui: T_{AB} e T_{AC} são as magnitudes das tensões (forças) nos fios AB e AC respectivamente; \cos e \sin são as funções trigonométricas dos ângulos definidos.

Passo 4

Resolver as equações de equilíbrio para T_{AB} e T_{AC}. Da equação horizontal obtemos
T_{AC}=\frac{T_{AB}\cos\theta_{AB}}{\cos\theta_{AC}}.
Substituindo na equação vertical:
T_{AB}\sin\theta_{AB}+\frac{T_{AB}\cos\theta_{AB}}{\cos\theta_{AC}}\sin\theta_{AC}=P.
Colocando T_{AB} em evidência:
T_{AB}\!\left(\sin\theta_{AB}+\cos\theta_{AB}\frac{\sin\theta_{AC}}{\cos\theta_{AC}}\right)=P.
Usando a identidade trigonométrica \sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})=\sin\theta_{AB}\cos\theta_{AC}+\cos\theta_{AB}\sin\theta_{AC}, simplificamos e obtemos as fórmulas fechadas
T_{AB}=\dfrac{P\cos\theta_{AC}}{\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})},
T_{AC}=\dfrac{P\cos\theta_{AB}}{\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})}.
Interpretação: quanto mais “vertical” estiver um fio (maior seno do seu ângulo com a horizontal), maior sua contribuição para sustentar P; os cossenos aparecem por causa da componente horizontal que equilibra as forças.

Passo 5

Agora substituímos T_{AB} e T_{AC} nas fórmulas do Passo 2 para achar os diâmetros. Assim, os diâmetros necessários são
d_{AB}=\sqrt{\dfrac{4\,T_{AB}}{\pi\sigma_{\text{allow}}}} =\sqrt{\dfrac{4\,P\cos\theta_{AC}}{\pi\sigma_{\text{allow}}\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})}},
d_{AC}=\sqrt{\dfrac{4\,T_{AC}}{\pi\sigma_{\text{allow}}}} =\sqrt{\dfrac{4\,P\cos\theta_{AB}}{\pi\sigma_{\text{allow}}\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • d_{AB},d_{AC}: diâmetros (em \mathrm{mm} se P em \mathrm{N} e \sigma_{\text{allow}} em \mathrm{N/mm^2}),
  • P: carregamento vertical aplicado (em \mathrm{N}),
  • \sigma_{\text{allow}}: tensão admissível (em \mathrm{N/mm^2}),
  • \theta_{AB},\theta_{AC}: ângulos dos fios em relação ao eixo horizontal (em graus ou radianos; use a mesma unidade nas funções trigonométricas).

Passo 6

Observações práticas para aplicar isso na prova (passo a passo rápido que você pode repetir sem calculadora quando tiver os ângulos):
  1. Converter P para \mathrm{N}: P=6\\ \mathrm{kN}=6000\\ \mathrm{N}.
  2. Usar \sigma_{\text{allow}}=200\\ \mathrm{MPa}=200\\ \mathrm{N/mm^2}.
  3. Calcular \sin(\theta_{AB}+\theta_{AC}), \cos\theta_{AB}, \cos\theta_{AC} (em calculadora ou tabelas).
  4. Calcular T_{AB} e T_{AC} pelas fórmulas do Passo 4.
  5. Calcular d_{AB} e d_{AC} pelas fórmulas do Passo 5.
    Se você trouxer os ângulos ou a figura, eu já aplico esses passos e entrego os valores numéricos e os diâmetros arredondados.

Resposta

d_{AB}=\sqrt{\dfrac{4\,P\cos\theta_{AC}}{\pi\,\sigma_{\text{allow}}\,\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})}}
d_{AC}=\sqrt{\dfrac{4\,P\cos\theta_{AB}}{\pi\,\sigma_{\text{allow}}\,\sin(\theta_{AB}+\theta_{AC})}}

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