If the allowable tensile stress for wires
and
is
, determine the required diameter of each wire if the applied load is
.
Passo 1
Dados do enunciado que temos sem a figura:
e
. O que o enunciado pede: determinar o diâmetro de cada fio
e
.
Informação faltante essencial: o enunciado não trouxe as posições geométricas/ângulos dos fios e
(ou a figura que mostre essas direções). Sem os ângulos que os fios fazem em relação a um eixo, não é possível determinar numericamente as forças (tensões) em cada fio e, portanto, não é possível calcular os diâmetros numéricos. Vou, então, explicar passo a passo como se resolve a questão quando esses ângulos estiverem conhecidos e dar as fórmulas finais que você aplica diretamente ao chegar com a figura.
Informação faltante essencial: o enunciado não trouxe as posições geométricas/ângulos dos fios
Passo 2
Relação tensão–força–área (a ferramenta básica): a tensão normal (tração) em um fio é dada por
onde
é a tensão (em
ou
),
é a força de tração no fio (em
) e
é a área da seção transversal do fio (em
). Para um fio circular de diâmetro
,
Isolando
da relação
, obtemos a fórmula que usaremos para calcular o diâmetro requerido em função da força
:
Explicando as unidades e como trabalhar com elas:
. Aqui
. Se
estiver em
, então
sai em
.
Passo 3
Equilíbrio no nó onde os fios se encontram (nó
). Para determinar
e
precisamos das equações de equilíbrio (somatório de forças = 0). Defina os ângulos das cordas como
e
medidos em relação ao eixo horizontal (pode escolher outra referência, mas mantenha consistência). A força vertical aplicada é
(tipicamente para baixo). As equações de equilíbrio (projeções horizontal e vertical) são:
Aqui:
e
são as magnitudes das tensões (forças) nos fios
e
respectivamente;
e
são as funções trigonométricas dos ângulos definidos.
Passo 4
Resolver as equações de equilíbrio para
e
. Da equação horizontal obtemos
Substituindo na equação vertical:
Colocando
em evidência:
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos e obtemos as fórmulas fechadas
Interpretação: quanto mais “vertical” estiver um fio (maior seno do seu ângulo com a horizontal), maior sua contribuição para sustentar
; os cossenos aparecem por causa da componente horizontal que equilibra as forças.
Passo 5
Agora substituímos
e
nas fórmulas do Passo 2 para achar os diâmetros. Assim, os diâmetros necessários são
Aqui cada símbolo significa:
-
: diâmetros (em se em e em ), -
: carregamento vertical aplicado (em ), -
: tensão admissível (em ), -
: ângulos dos fios em relação ao eixo horizontal (em graus ou radianos; use a mesma unidade nas funções trigonométricas).
Passo 6
Observações práticas para aplicar isso na prova (passo a passo rápido que você pode repetir sem calculadora quando tiver os ângulos):
- Converter
para : . - Usar
. - Calcular
, , (em calculadora ou tabelas). - Calcular
e pelas fórmulas do Passo 4. - Calcular
e pelas fórmulas do Passo 5.
Se você trouxer os ângulos ou a figura, eu já aplico esses passos e entrego os valores numéricos e os diâmetros arredondados.