The boom is supported by the winch cable that has a diameter of 0.25 in . and an allowable normal stress of \sigma_{\text {allow }}=24 \mathrm{ksi}. Determine the greatest weight of the crate that can be supported without causing the cable to fail if \varphi=30^{\circ}. Neglect the size of the winch.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar só o que foi explicitamente informado):
  • Diâmetro do cabo: \;d=0{,}25\\ \text{in}.
  • Tensão admissível (tensão normal máxima): \;\sigma_{\text{allow}}=24\\ \text{ksi}.
  • Ângulo dado no enunciado: \;\varphi=30^\circ.
  • Instrução: desprezar o tamanho do guincho.
O que o enunciado pede: “Determinar o maior peso da caixa que pode ser suportado sem causar falha do cabo.” Ou seja, quer W_{\max}.
Observação importante: o enunciado refere-se a uma situação geométrica (um braço, um guincho e um cabo) cuja relação entre a tensão no cabo T e o peso W depende de como o cabo está conectado ao peso e ao braço (posição do guincho, se o cabo passa por polias, se existem duas pernas do cabo, pontos de ancoragem, distâncias para equilíbrio de momento, etc.). Essa informação geométrica normalmente vem de uma figura. A figura não foi enviada aqui.

Passo 2

Por que preciso da figura para concluir?
  • Em problemas de equilíbrio estático, o peso W é balanceado pelas componentes verticais das tensões nos cabos e/ou por reações no braço. A relação numérica entre W e a tensão no cabo T depende exatamente do arranjo: por exemplo, em alguns arranjos W=T; em outros W=2T\cos\theta; em outros há alavancas e W se relaciona com T através de momentos (depende de comprimentos).
  • Sem a figura não há informação sobre quantas pernas do cabo suportam a carga, o ângulo relevante para as componentes verticais nem sobre alavancas/braços. Portanto não há como obter um único valor de W_{\max} que seja certo para o problema real.
Dito isso, posso calcular a TENSÃO MÁXIMA que o cabo suporta (valor absoluto de T) a partir de d e \sigma_{\text{allow}}. Esse valor é necessário em qualquer caso: a partir dele, usando a geometria correta, obtém-se W_{\max}.

Passo 3

Conceito usado: tensão normal (tensão de tração) é força por unidade de área. Se um fio de seção transversal A suporta uma força axial T, a tensão é \sigma=\dfrac{T}{A}. A tensão admissível nos diz \sigma_{\text{allow}}=\dfrac{T_{\max}}{A}, logo
T_{\max}=\sigma_{\text{allow}}\;A.
A área transversal de um cabo circular de diâmetro \;d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.

Passo 4

Aplicando aos números fornecidos. Primeiro calculemos a área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}25\\ \text{in})^{2}}{4}.
Calcule passo a passo:
d^{2}=(0{,}25)^{2}=0{,}0625\\ \text{in}^{2}.
\frac{d^{2}}{4}=0{,}0625/4=0{,}015625\\ \text{in}^{2}.
A=\pi\times 0{,}015625\approx 0{,}04909\\ \text{in}^{2}.

Passo 5

Converter a tensão admissível para as mesmas unidades (psi): \;24\\ \text{ksi}=24{,}000\\ \text{psi}. Agora:
T_{\max}=\sigma_{\text{allow}}\,A = 24{,}000\\ \text{psi}\times 0{,}04909\\ \text{in}^{2}.
T_{\max}\approx 1{,}178\times 10^{3}\\ \text{lb}\approx 1{,}178\\ \text{lb}.
(ou seja, aproximadamente 1{,}178\\ \text{lbf} 1{,}178\\ \text{lb}; em kips isso é ≈ 1{,}178\\ \text{kip}\times 10^{-3}, mas normalmente dizemos 1{,}178\\ \text{lb}.)

Passo 6

Interpretação prática e casos típicos (sem inventar a figura, apenas para você saber como usar T_{\max} quando souber o arranjo):
  • Caso A (mais simples): se o cabo prende diretamente a caixa e só existe essa única perna de cabo sustentando a carga (ou seja, na extremidade livre do cabo está a caixa), então a tensão no cabo é exatamente o peso: \;T=W. Assim, W_{\max}=T_{\max}.
  • Caso B (dois ramos simétricos): se a caixa é sustentada por duas pernas do cabo simétricas que fazem um ângulo \theta com a vertical, a condição de equilíbrio vertical é \;2T\cos\theta=W; então W_{\max}=2T_{\max}\cos\theta. (Aqui \theta é o ângulo entre cada perna do cabo e a vertical.)
  • Caso C (alavancas / polias / guincho): se há polias ou a geometria do braço transforma a força via momentos, a relação pode ser algo como W = k\,T com k dependente de comprimentos e configurações; só se determina com a figura.

Passo 7

Conclusão final — o que posso entregar com os dados que você forneceu:
  • Calculei a tensão máxima que o cabo pode suportar antes de falhar:
T_{\max}\approx 1178\\ \text{lb}.
  • Sem a figura (ou descrição completa do arranjo), não é possível dar um único valor numérico definitivo para W_{\max}, porque falta a relação entre W e T (essa relação depende do modo de apoio/angulação/polias).
  • Se o enunciado implicar o caso mais direto (cabo único sustentando a caixa), então
W_{\max}=T_{\max}\approx 1178\\ \text{lb}.

Resposta

Não é possível determinar unicamente W_{\max} sem a figura/descrição do arranjo (falta a relação entre W e T).\nTensão máxima no cabo: \;T_{\max}=\sigma_{\text{allow}}\dfrac{\pi d^{2}}{4}\approx 1178\\ \text{lb}.\nSe o cabo sustenta diretamente a caixa (cabo único), então \;W_{\max}=1178\\ \text{lb}.

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