The fifth-order partial derivative ∂^{5} f / ∂ x^{2} ∂ y^{3} is zero for each of the following functions. To show this as quickly as possible, which variable would you differentiate with respect to first: x or y ? Try to answer without writing anything down.
f(x, y)=x e^{y^{2} / 2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de quinta ordem \displaystyle \frac{\partial^{5}f}{\partial x^{2}\partial y^{3}}
para a função
f(x,y)=x\,e^{y^{2}/2}.
Como f é linear em x, basta notar que qualquer segunda derivada em x anula a função. Pelo Teorema de Clairaut, a ordem de diferenciação não importa, então vamos escolher diferenciar primeiro em x.

Passo 2

Calcular a primeira derivada em x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{y^{2}/2}\bigr) =e^{y^{2}/2}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{y^{2}/2}\Bigr) =0,
pois e^{y^{2}/2} é independente de x.

Passo 4

Como já obtivemos \partial^{2}f/\partial x^{2}=0, qualquer derivada adicional em y (ou em x) continuará sendo zero. Logo
\frac{\partial^{5}f}{\partial x^{2}\partial y^{3}}=0.

Resposta

Diferencie primeiro em x.

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