The rigid beam is supported by the three posts
, and
of equal length. Posts
and
have a diameter of 75 mm and are made of a material for which
and
. Post
has a diameter of 20 mm and is made of a material for which
and
. Determine the smallest magnitude of
so that
only rods
and
yield
only rods
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor valor da força
tal que somente os pilares
e
atinjam escoamento (yield).
Dados fornecidos (vou listar tudo que importa, com unidades e símbolos):
Dados fornecidos (vou listar tudo que importa, com unidades e símbolos):
- Diâmetro dos pilares
e : . - Módulo de Young dos pilares
e : . - Tensão de escoamento dos pilares
e : . - Diâmetro do pilar
: . - Módulo de Young do pilar
: . - Tensão de escoamento do pilar
: . - Os três pilares têm o mesmo comprimento (vou chamar de
) e apoiam uma viga perfeitamente rígida — isto implica que a viga permanece plana e todos os deslocamentos verticais nos topos dos pilares são iguais (compatibilidade).
O objetivo imediato: achar o menorpara que e estejam em escoamento enquanto NÃO entra em escoamento.
Passo 2
Entender como as forças se repartem entre os pilares quando a viga é rígida.
Quando a viga é rígida e os topos dos pilares se deslocam verticalmente pela mesma quantidade , cada pilar fornece uma força axial dada por sua rigidez axial times
. A rigidez axial de um pilar
é
Quando a viga é rígida e os topos dos pilares se deslocam verticalmente pela mesma quantidade
onde
é a área da seção transversal do pilar
,
seu módulo de Young e
o comprimento (comum). Assim a força no pilar
é
Note que, por terem o mesmo
e o mesmo
, as forças são proporcionais a
.
Passo 3
Calcular as áreas das seções circulares (tudo em
). Fórmula da área:
Para
(e
):
Para
:
Passo 4
Determinar a condição de escoamento dos pilares
e
.
O pilar entra em escoamento quando a sua tensão axial atingir
. A tensão axial é
. Então a força de escoamento em
é
O pilar
Como
e
são idênticos, quando um escoa o outro também terá a mesma força de escoamento:
Passo 5
Encontrar o deslocamento
correspondente ao escoamento de
.
Usamos com
. Igualando
à força de escoamento:
Usamos
Note que
cancela, portanto
Comentário didático: isso é intuitivo — a tensão no pilar depende da deformação
multiplicada por
, então a deformação necessária para atingir
é
, e o deslocamento é
.
Passo 6
Calcular a força em
quando
e
estão em escoamento (usando
).
Força em é
com
. Assim
Força em
A tensão em
correspondente é
Observe que essa expressão não depende do comprimento nem da área: ela só vem da razão dos módulos e
dos outros pilares.
Passo 7
Verificar que
não entra em escoamento sob essa condição.
Calculemos numericamente :
Calculemos numericamente
Comparando com
, vemos que
portanto
permanece elástico — bom, a condição “somente
e
yield” é plausível.
Passo 8
Calcular o valor total da força
quando
e
estão em escoamento. A soma das forças nos três pilares deve equilibrar
:
Substituindo
e
,
Agora fazemos as contas numéricas (tudo em unidades consistentes:
, áreas em
, então
sai em newtons):
Valores numéricos já calculados:
Valores numéricos já calculados:
Calcule o parêntese:
Multiplicando por
:
Passo 9
Interpretar o resultado e arredondar de forma conveniente para relatório/prova. Faz sentido dar em kN:
Conferimos novamente a condição pedida: em
os pilares
e
têm
(esticaram até escoar) e
, logo somente
e
yield.