The rigid beam is supported by the three posts A, B, and C of equal length. Posts A and C have a diameter of 75 mm and are made of a material for which E=70 \mathrm{GPa} and \sigma_{Y}=20 \mathrm{MPa}. Post B has a diameter of 20 mm and is made of a material for which E^{\prime}=100 \mathrm{GPa} and \sigma_{Y}{ }^{\prime}=590 \mathrm{MPa}. Determine the smallest magnitude of \mathbf{P} so that
only rods A and C yield

Passo 1

O enunciado pede: determinar o menor valor da força \mathbf{P} tal que somente os pilares A e C atinjam escoamento (yield).
Dados fornecidos (vou listar tudo que importa, com unidades e símbolos):
  • Diâmetro dos pilares A e C: d_A=d_C=75\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de Young dos pilares A e C: E=70\\ \mathrm{GPa}.
  • Tensão de escoamento dos pilares A e C: \sigma_{Y}=20\\ \mathrm{MPa}.
  • Diâmetro do pilar B: d_B=20\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de Young do pilar B: E' = 100\\ \mathrm{GPa}.
  • Tensão de escoamento do pilar B: \sigma'_{Y}=590\\ \mathrm{MPa}.
  • Os três pilares têm o mesmo comprimento (vou chamar de L) e apoiam uma viga perfeitamente rígida — isto implica que a viga permanece plana e todos os deslocamentos verticais nos topos dos pilares são iguais (compatibilidade).
    O objetivo imediato: achar o menor P para que A e C estejam em escoamento enquanto B NÃO entra em escoamento.

Passo 2

Entender como as forças se repartem entre os pilares quando a viga é rígida.
Quando a viga é rígida e os topos dos pilares se deslocam verticalmente pela mesma quantidade \delta, cada pilar fornece uma força axial dada por sua rigidez axial times \delta. A rigidez axial de um pilar i é
k_i=\frac{A_i E_i}{L},
onde A_i é a área da seção transversal do pilar i, E_i seu módulo de Young e L o comprimento (comum). Assim a força no pilar i é
F_i=k_i\delta=\frac{A_i E_i}{L}\,\delta.
Note que, por terem o mesmo \delta e o mesmo L, as forças são proporcionais a A_i E_i.

Passo 3

Calcular as áreas das seções circulares (tudo em \mathrm{mm}^2). Fórmula da área:
A=\frac{\pi d^2}{4}.
Para A (e C):
A_A=A_C=\frac{\pi(75)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 5625}{4}=1406{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^2\approx 4417{,}86\\ \mathrm{mm}^2.
Para B:
A_B=\frac{\pi(20)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 400}{4}=100\pi\\ \mathrm{mm}^2\approx 314{,}16\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Determinar a condição de escoamento dos pilares A e C.
O pilar A entra em escoamento quando a sua tensão axial atingir \sigma_Y. A tensão axial é \sigma_A=F_A/A_A. Então a força de escoamento em A é
F_{A}^{(y)}=\sigma_Y A_A.
Como A e C são idênticos, quando um escoa o outro também terá a mesma força de escoamento:
F_{C}^{(y)}=\sigma_Y A_C=\sigma_Y A_A.

Passo 5

Encontrar o deslocamento \delta_y correspondente ao escoamento de A.
Usamos F_A=k_A\delta com k_A=\dfrac{A_A E}{L}. Igualando F_A à força de escoamento:
\sigma_Y A_A = \frac{A_A E}{L}\,\delta_y.
Note que A_A cancela, portanto
\delta_y=\frac{\sigma_Y L}{E}.
Comentário didático: isso é intuitivo — a tensão no pilar depende da deformação \delta/L multiplicada por E, então a deformação necessária para atingir \sigma_Y é \sigma_Y/E, e o deslocamento é \delta_y=L(\sigma_Y/E).

Passo 6

Calcular a força em B quando A e C estão em escoamento (usando \delta_y).
Força em B é F_B=k_B\delta_y com k_B=\dfrac{A_B E'}{L}. Assim
F_B = \frac{A_B E'}{L}\,\delta_y=\frac{A_B E'}{L}\cdot\frac{\sigma_Y L}{E}=A_B\frac{E'}{E}\sigma_Y.
A tensão em B correspondente é
\sigma_B=\frac{F_B}{A_B}=\frac{E'}{E}\sigma_Y.
Observe que essa expressão não depende do comprimento nem da área: ela só vem da razão dos módulos e \sigma_Y dos outros pilares.

Passo 7

Verificar que B não entra em escoamento sob essa condição.
Calculemos numericamente \sigma_B:
\frac{E'}{E}=\frac{100}{70}=1{,}428571\ldots
\sigma_B=\frac{E'}{E}\sigma_Y = 1{,}428571\cdot 20\\ \mathrm{MPa}=28{,}5714\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com \sigma'_{Y}=590\\ \mathrm{MPa}, vemos que
\sigma_B=28{,}57\\ \mathrm{MPa} \ll 590\\ \mathrm{MPa},
portanto B permanece elástico — bom, a condição “somente A e C yield” é plausível.

Passo 8

Calcular o valor total da força P quando A e C estão em escoamento. A soma das forças nos três pilares deve equilibrar P:
P = F_A + F_B + F_C.
Substituindo F_A=F_C=\sigma_Y A_A e F_B=A_B\frac{E'}{E}\sigma_Y,
P=\sigma_Y\Big(2A_A + A_B\frac{E'}{E}\Big).
Agora fazemos as contas numéricas (tudo em unidades consistentes: \mathrm{MPa}=\mathrm{N/mm^2}, áreas em \mathrm{mm^2}, então P sai em newtons):
Valores numéricos já calculados:
A_A\approx 4417{,}86\\ \mathrm{mm}^2,\qquad A_B\approx 314{,}16\\ \mathrm{mm}^2,\qquad \frac{E'}{E}=1{,}428571.
Calcule o parêntese:
2A_A = 2\cdot 4417{,}86 = 8835{,}72\\ \mathrm{mm}^2,
A_B\frac{E'}{E}=314{,}16\cdot 1{,}428571\approx 448{,}80\\ \mathrm{mm}^2,
2A_A + A_B\frac{E'}{E}\approx 8835{,}72 + 448{,}80 = 9284{,}52\\ \mathrm{mm}^2.
Multiplicando por \sigma_Y=20\\ \mathrm{MPa}:
P \approx 20\cdot 9284{,}52\\ \mathrm{N}=185690{,}4\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Interpretar o resultado e arredondar de forma conveniente para relatório/prova. Faz sentido dar em kN:
P\approx 185690{,}4\\ \mathrm{N}\approx 185{,}7\\ \mathrm{kN}.
Conferimos novamente a condição pedida: em \delta_y os pilares A e C têm \sigma_A=\sigma_C=\sigma_Y (esticaram até escoar) e \sigma_B\approx 28{,}57\\ \mathrm{MPa}<\sigma'_{Y}=590\\ \mathrm{MPa}, logo somente A e C yield.

Resposta

P\approx 1,8569\times 10^{5}\\ \mathrm{N}\approx 185{,}7\\ \mathrm{kN}

Exercícios relacionados