The rigid beam is supported by the three posts A, B, and C of equal length. Posts A and C have a diameter of 75 mm and are made of a material for which E=70 \mathrm{GPa} and \sigma_{Y}=20 \mathrm{MPa}. Post B has a diameter of 20 mm and is made of a material for which E^{\prime}=100 \mathrm{GPa} and \sigma_{Y}{ }^{\prime}=590 \mathrm{MPa}. Determine the smallest magnitude of \mathbf{P} so that
all the posts yield.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado dá e o que ele pede, devagarinho e sem pânico. O enunciado fornece:
  • Três montantes (postes) A, B e C de mesmo comprimento, sustentando uma viga rígida.
  • Diâmetros: d_A = d_C = 75\\ \mathrm{mm},\qquad d_B = 20\\ \mathrm{mm}.
  • Propriedades dos materiais: E_A = E_C = 70\\ \mathrm{GPa},\quad \sigma_{Y,A}=\sigma_{Y,C}=20\\ \mathrm{MPa},
E_B = 100\\ \mathrm{GPa},\quad \sigma_{Y,B}=590\\ \mathrm{MPa}.
  • A viga é rígida (isso é importantíssimo para distribuir deslocamentos).
  • Objetivo: determinar o menor valor de P tal que todos os postes sofram escoamento (yield).
Informações relevantes anotadas: diâmetros (me dão áreas), módulos de Young (me dão rigidez axial k\propto EA), limites de escoamento (me dão forças de escoamento F_y=\sigma_Y A). A viga rígida implica que todos os três postes têm a mesma deformação vertical \delta sob carga.

Passo 2

Conceito-chave: reação axial de cada poste quando a viga é rígida.
  • Para um poste axial de comprimento L, rigidez axial é k=\frac{EA}{L}.Como todos têm o mesmo L, a relação entre rigidezes é proporcional a E A.
    Se todos os três estiverem na região elástica, a deformação comum é \delta e a reação em cada poste é R_i = k_i \,\delta.Somando as reações obtém-se P: P = R_A+R_B+R_C = (k_A+k_B+k_C)\,\delta.Logo a fração de P que vai para o poste i é R_i = \frac{k_i}{K}\,P,\quad\text{onde}\quad K=k_A+k_B+k_C.
Explicando em palavras: quando a viga é rígida, cada poste “puxa” uma parte do P proporcional à sua rigidez axial relativa.

Passo 3

Calcular as áreas transversais dos postes (fórmula da área de um círculo):
A=\frac{\pi d^2}{4}.
Para A e C:
A_A=A_C=\frac{\pi(75)^2}{4}=1406{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^2\approx 4417{,}865\\ \mathrm{mm}^2.
Para B:
A_B=\frac{\pi(20)^2}{4}=100\pi\\ \mathrm{mm}^2\approx 314{,}159\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Calcular as rigidezes (proporcionais a E A; o comprimento L cancela nas razões):
Tomando E em \mathrm{N/mm}^2 (lembre: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2):
E_A=70\\ \mathrm{GPa}=70\,000\\ \mathrm{N/mm}^2,\qquad E_B=100\\ \mathrm{GPa}=100\,000\\ \mathrm{N/mm}^2.
Então as quantidades proporcionais a k são
k_A \propto E_A A_A = 70\,000\times 4417{,}865\approx 309\,250\,527\\ (\text{unidade arbit.}),
k_B \propto E_B A_B = 100\,000\times 314{,}159\approx 31\,415\,927.
Como A e C são idênticos,
K = k_A+k_B+k_C = 2k_A + k_B \approx 2(309\,250\,527)+31\,415\,927 \approx 649\,916\,981.

Passo 5

Forças de escoamento (força axial máxima antes de yield) para cada poste:
F_{y,i}=\sigma_{Y,i}\,A_i.
Calculando:
F_{y,A}=20\\ \mathrm{MPa}\times 4417{,}865\\ \mathrm{mm}^2 =20\times 4417{,}865\\ \mathrm{N}\approx 88\,357{,}3\\ \mathrm{N}.
F_{y,B}=590\\ \mathrm{MPa}\times 314{,}159\\ \mathrm{mm}^2 =590\times 314{,}159\\ \mathrm{N}\approx 185\,353{,}97\\ \mathrm{N}.
Interpretação: A e C vencem (escoam) muito antes do que B se a distribuição permanecesse elástica, porque suas tensões de escoamento são pequenas em relação à rigidez relativa.

Passo 6

Encontrar qual poste escoa primeiro supondo comportamento elástico inicial.
Se todos elásticos, a reação no poste i é R_i=\dfrac{k_i}{K}P. O valor de P necessário para fazer o poste i atingir seu F_{y,i} é
P_{i} = F_{y,i}\,\frac{K}{k_i}.
Calculemos para A (igual para C) e para B:
  • Para A: P_A = F_{y,A}\frac{K}{k_A}\approx 88\,357{,}3\times\frac{649\,916\,981}{309\,250\,527}\approx 185\,614{,}6\\ \mathrm{N}\approx 185{,}6\\ \mathrm{kN}.
  • Para B: P_B = F_{y,B}\frac{K}{k_B}\approx 185\,354{,}0\times\frac{649\,916\,981}{31\,415\,927}\approx 3\,836\,064\\ \mathrm{N}\approx 3836\\ \mathrm{kN}.
Conclusão: os postes A e C escoarão primeiro (ao mesmo tempo, porque são idênticos) quando P\approx 185{,}6\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Modelagem pós-escoramento inicial (passo a passo físico e por que isso importa):
Quando A e C atingem F_{y,A}, assumimos comportamento plástico ideal por extenso: cada um não pode suportar mais força axial significativa além de F_{y,A} (ou seja, sua força fica “travada” em torno de F_{y,A} enquanto sua deformação aumenta). Isso reduz efetivamente a rigidez incremental desses dois postes (idealmente para zero), de modo que qualquer acréscimo de P adicional é absorvido essencialmente pelo poste ainda elástico ( B).
Portanto, após A e C escoarem, para qualquer P maior:
R_A \approx F_{y,A},\qquad R_C \approx F_{y,A},\qquad R_B = P - 2F_{y,A}.
O poste B escoará quando R_B atingir F_{y,B}. Logo a condição para B escoar é
P - 2F_{y,A} = F_{y,B}.

Passo 8

Resolver a equação para P quando B escoa após A e C já estarem escoando:
P = F_{y,B} + 2F_{y,A}.
Substituindo os valores numéricos calculados:
P \approx 185\,353{,}97\\ \mathrm{N} + 2(88\,357{,}29\\ \mathrm{N}) \approx 362\,068{,}6\\ \mathrm{N}.
Em unidades mais usuais,
P \approx 362{,}1\\ \mathrm{kN}.
Interpretação final: esse é o menor P que garante que todos os três postes tenham escoado em algum momento — A e C já escoaram antes, e quando P é aumentado até 362{,}1\\ \mathrm{kN}, B também atinge seu escoamento.

Resposta

P\approx3,62\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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