The rigid beam is supported by the three posts
, and
of equal length. Posts
and
have a diameter of 75 mm and are made of a material for which
and
. Post
has a diameter of 20 mm and is made of a material for which
and
. Determine the smallest magnitude of
so that
all the posts yield.
all the posts yield.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado dá e o que ele pede, devagarinho e sem pânico. O enunciado fornece:
- Três montantes (postes)
, e de mesmo comprimento, sustentando uma viga rígida. - Diâmetros:
- Propriedades dos materiais:
- A viga é rígida (isso é importantíssimo para distribuir deslocamentos).
- Objetivo: determinar o menor valor de
tal que todos os postes sofram escoamento (yield).
Informações relevantes anotadas: diâmetros (me dão áreas), módulos de Young (me dão rigidez axial
), limites de escoamento (me dão forças de escoamento
). A viga rígida implica que todos os três postes têm a mesma deformação vertical
sob carga.
Passo 2
Conceito-chave: reação axial de cada poste quando a viga é rígida.
- Para um poste axial de comprimento
, rigidez axial é Como todos têm o mesmo , a relação entre rigidezes é proporcional a .
Se todos os três estiverem na região elástica, a deformação comum ée a reação em cada poste é Somando as reações obtém-se : Logo a fração de que vai para o poste é
Explicando em palavras: quando a viga é rígida, cada poste “puxa” uma parte do
proporcional à sua rigidez axial relativa.
Passo 3
Calcular as áreas transversais dos postes (fórmula da área de um círculo):
Para
e
:
Para
:
Passo 4
Calcular as rigidezes (proporcionais a
; o comprimento
cancela nas razões):
Tomando
em
(lembre:
):
Então as quantidades proporcionais a
são
Como
e
são idênticos,
Passo 5
Forças de escoamento (força axial máxima antes de yield) para cada poste:
Calculando:
Interpretação:
e
vencem (escoam) muito antes do que
se a distribuição permanecesse elástica, porque suas tensões de escoamento são pequenas em relação à rigidez relativa.
Passo 6
Encontrar qual poste escoa primeiro supondo comportamento elástico inicial.
Se todos elásticos, a reação no poste
é
. O valor de
necessário para fazer o poste
atingir seu
é
Calculemos para
(igual para
) e para
:
- Para
: - Para
:
Conclusão: os postes
e
escoarão primeiro (ao mesmo tempo, porque são idênticos) quando
.
Passo 7
Modelagem pós-escoramento inicial (passo a passo físico e por que isso importa):
Quando
e
atingem
, assumimos comportamento plástico ideal por extenso: cada um não pode suportar mais força axial significativa além de
(ou seja, sua força fica “travada” em torno de
enquanto sua deformação aumenta). Isso reduz efetivamente a rigidez incremental desses dois postes (idealmente para zero), de modo que qualquer acréscimo de
adicional é absorvido essencialmente pelo poste ainda elástico (
).
Portanto, após
e
escoarem, para qualquer
maior:
O poste
escoará quando
atingir
. Logo a condição para
escoar é
Passo 8
Resolver a equação para
quando
escoa após
e
já estarem escoando:
Substituindo os valores numéricos calculados:
Em unidades mais usuais,
Interpretação final: esse é o menor
que garante que todos os três postes tenham escoado em algum momento —
e
já escoaram antes, e quando
é aumentado até
,
também atinge seu escoamento.