Um eixo de navio tem 350 mm de diâmetro (d). A tensão admissível ao cisalhamento é 600 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e o máximo valor admissível de \varphi é de 1 grau em 15 d de comprimento. Se \mathrm{G}=9,6 \times 10^{5} \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}, qual o máximo \mathrm{M}_{\mathrm{t}} que pode solicitar o eixo?

Passo 1

O enunciado pede: qual o máximo torque M_{t} que o eixo pode suportar, dadas as limitações por tensão de cisalhamento e por torção (ângulo de torção máximo). Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
d=350\\ \text{mm},
\tau_{\mathrm{adm}}=600\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
\text{o máximo valor admissível de }\varphi \text{ é }1^\circ \text{ em }15d,áíé
G=9{,}6\times10^{5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Observações numéricas que já faço aqui (conversões necessárias): d=350\\ \text{mm}=35\\ \text{cm}. O comprimento correspondente é L=15d. A pergunta é única: determinar M_t^{\max} (o maior torque permitido considerando ambas as limitações).

Passo 2

Quais fórmulas vamos usar (com explicação didática):
  • Para um eixo circular maciço, a tensão cisalhante máxima na superfície, quando submetido a um torque T, é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo do eixo e J é o momento polar de inércia da seção transversal. Explicando cada termo: \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (unidade \mathrm{kgf/cm^{2}}), T é o torque aplicado (unidade \mathrm{kgf\cdot cm}), c é o raio em \mathrm{cm} e J mede a “resistência geométrica” à torção (unidade \mathrm{cm^{4}}).
  • Para um círculo maciço de diâmetro d,
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
e c=\frac{d}{2}.
  • O ângulo de torção \varphi para um comprimento L é dado por
\varphi=\frac{T\,L}{J\,G},
onde G é o módulo de cisalhamento do material (unidade \mathrm{kgf/cm^{2}}) e \varphi deve ser em radianos nessa fórmula.
Portanto teremos duas condições que limitam T:
  1. Limite pela tensão: T tal que \tau_{\max}\le\tau_{\mathrm{adm}}.
  2. Limite pelo ângulo: T tal que \varphi\le\varphi_{\mathrm{adm}}.
O M_t^{\max} será o menor dos dois valores de T obtidos a partir dessas duas limitações.

Passo 3

Determinar T a partir da condição de tensão ( \tau_{\max}=\tau_{\mathrm{adm}}). Substituindo \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} e c=\dfrac{d}{2}, J=\dfrac{\pi d^{4}}{32}, temos:
\tau_{\mathrm{adm}}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}.
Isolando T:
T=\tau_{\mathrm{adm}}\cdot\frac{\pi d^{4}}{32}\cdot\frac{2}{d}.
Simplificando:
T_{\tau}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}\pi d^{3}}{16}.
Isto é intuitivo: para um mesmo material/diâmetro, o torque admissível por tensão cresce com d^{3}.

Passo 4

Determinar T a partir da condição do ângulo ( \varphi=\varphi_{\mathrm{adm}}). A fórmula é \varphi=\dfrac{T L}{J G}. Isolando T:
T=\frac{\varphi J G}{L}.
Substituindo J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} e L=15d:
T_{\varphi}=\frac{\varphi\,(\pi d^{4}/32)\,G}{15d}=\frac{\varphi\pi d^{3}G}{32\cdot15}.
Como 32\cdot15=480, escrevemos:
T_{\varphi}=\frac{\varphi\pi d^{3}G}{480}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente ambos os torques. Primeiro os dados numéricos já convertidos:
d=35\\ \mathrm{cm},\qquad \tau_{\mathrm{adm}}=600\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},\qquad G=9{,}6\times10^{5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
O ângulo admissível é 1^\circ em comprimento L=15d. Convertendo 1^\circ para radianos:
\varphi=\frac{\pi}{180}\\ \text{rad}.
Calcule d^{3}:
d^{3}=35^{3}=42875\\ \mathrm{cm^{3}}.
Calcule \pi d^{3} (aprox.):
\pi d^{3}\approx 3{,}14159265\times42875\approx 134676{,}9.

Passo 6

Calcular T_{\tau} (limite pela tensão):
T_{\tau}=\frac{\tau_{\mathrm{adm}}\pi d^{3}}{16}=\frac{600\times 134676{,}9}{16}.
Computando:
\frac{600}{16}=37{,}5,
T_{\tau}=37{,}5\times 134676{,}9\approx 5050383{,}75\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
Portanto
T_{\tau}\approx 5{,}050{,}384\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.

Passo 7

Calcular T_{\varphi} (limite pelo ângulo):
T_{\varphi}=\frac{\varphi\pi d^{3}G}{480}=\frac{\left(\frac{\pi}{180}\right)\pi d^{3}G}{480}=\frac{\pi^{2} d^{3}G}{86400}.
Usando \pi^{2}\approx 9{,}8696044, d^{3}=42875 e G=9{,}6\times10^{5}:
\text{numerador}\approx 9{,}8696044\times 42875\times 960000\approx 406232920000,
T_{\varphi}\approx \frac{406232920000}{86400}\approx 4701769{,}9\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
Arredondando razoavelmente:
T_{\varphi}\approx 4{,}701{,}770\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.

Passo 8

Comparação e conclusão: os dois limites dão
T_{\tau}\approx 5{,}050{,}384\\ \mathrm{kgf\cdot cm},
T_{\varphi}\approx 4{,}701{,}770\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
O torque máximo admissível é o menor dos dois (pois se exceder qualquer uma das limitações o eixo falha em tensão ou ultrapassa o ângulo permitido). Portanto
M_{t}^{\max}=T_{\varphi}\approx 4{,}701{,}770\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.

Resposta

M_{t}^{\max}\approx 4{,}70\times10^{6}\\ \mathrm{kgf\cdot cm}

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