5.6 The
component of velocity for a flow field is given as
where
and
and
are in meters. Determine the
component of velocity for a steady incompressible flow. Determine the equation of the streamline and plot the streamline that goes through the point
.
Passo 1
O enunciado dá: a componente
da velocidade é
com
e as coordenadas
e
em metros. Pede-se:
- determinar a componente
da velocidade para um escoamento estacionário incompressível; - determinar a equação da linha de corrente (streamline) e desenhar/descrever a linha de corrente que passa pelo ponto
.
Informações relevantes:
conhecida, fluxo bidimensional (dependência em
), escoamento incompressível e estacionário, e ponto pelo qual a linha de corrente deve passar.
Passo 2
Teoria necessária (explicação didática): para um escoamento bidimensional, estacionário e incompressível a conservação de massa (continuidade) impõe que a divergência do campo de velocidade seja zero. Em linguagem matemática isso é
onde
é a componente da velocidade na direção
e
é a componente na direção
. Aqui
e
são derivadas parciais:
mede como
varia quando mudamos
mantendo
fixo.
Aplicando isso ao
dado: primeiro calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Como
a derivada parcial em
é (tratando
como constante)
Passo 3
Use a equação da continuidade para encontrar
:
Agora integramos essa expressão em relação a
para obter
. A integral é
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
a constante pode ser função de
). Simplificando o fator:
Observação importante e justificativa prática: sem condições adicionais (condições de contorno) não é possível determinar
. Uma escolha comum, e natural em muitos exercícios, é assumir
(por exemplo, isso faz com que
, i.e., a componente vertical seja zero na linha
); essa escolha fornece uma expressão simples e única para
. Vou seguir essa escolha para obter uma resposta explícita. Substituindo
e
obtemos numericamente
Passo 4
Agora vamos às linhas de corrente (streamlines). Definição prática: uma streamline é uma curva tangente ao vetor velocidade em cada ponto; no caso estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias instantâneas. A equação para uma streamline é dada pela equação diferencial
Essa é uma ODE que relaciona a inclinação da curva com as componentes da velocidade.
Substituindo
e
(com
):
Cancelamos
e simplificamos as potências de
e
:
Passo 5
Resolver a ODE (separável). Escrevemos
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração (escolhi escrever como log de uma constante positiva
). Exponenciando:
Agora impomos a condição de que a streamline passe por
. Substituindo
,
obtemos
portanto
. Assim a linha de corrente que passa por
é
Passo 6
Desenho/descrição da streamline (como plotar sem figura): algumas observações e pontos para rascunho prático — isso facilita desenhar na folha:
- Comportamento: quando
, , logo ; quando , . A curva é positiva para e decresce monotonamente (porque para ). - Alguns pontos fáceis:
- Para desenhar: marque
, , (aproximadamente muito à esquerda) e esboce uma curva suave que decresce de quando vai a até aproximar quando cresce.
Pronto — temos a componente
compatível com incompressibilidade (escolhendo
para fixar a constante) e a equação explícita da streamline pedida.
Resposta
Escolhendo
Equação da streamline que passa por