5.6 The x component of velocity for a flow field is given as u=A x^{2} y^{2} where \mathrm{A}=0.3 \mathrm{~m}^{-3} \mathrm{~s}^{-1} and x and y are in meters. Determine the y component of velocity for a steady incompressible flow. Determine the equation of the streamline and plot the streamline that goes through the point (\mathrm{x}, \mathrm{y})=(1,4).

Passo 1

O enunciado dá: a componente x da velocidade é
u = A x^{2} y^{2},
com A=0,3\\ \mathrm{m}^{-3}\mathrm{s}^{-1} e as coordenadas x e y em metros. Pede-se:
  1. determinar a componente y da velocidade para um escoamento estacionário incompressível;
  2. determinar a equação da linha de corrente (streamline) e desenhar/descrever a linha de corrente que passa pelo ponto (x,y)=(1,4).
Informações relevantes: u(x,y) conhecida, fluxo bidimensional (dependência em x,y), escoamento incompressível e estacionário, e ponto pelo qual a linha de corrente deve passar.

Passo 2

Teoria necessária (explicação didática): para um escoamento bidimensional, estacionário e incompressível a conservação de massa (continuidade) impõe que a divergência do campo de velocidade seja zero. Em linguagem matemática isso é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0,
onde u(x,y) é a componente da velocidade na direção x e v(x,y) é a componente na direção y. Aqui \partial/\partial x e \partial/\partial y são derivadas parciais: \partial u/\partial x mede como u varia quando mudamos x mantendo y fixo.
Aplicando isso ao u dado: primeiro calculemos a derivada parcial de u em relação a x. Como
u(x,y)=A x^{2} y^{2},
a derivada parcial em x é (tratando y como constante)
\frac{\partial u}{\partial x} = 2 A x y^{2}.

Passo 3

Use a equação da continuidade para encontrar \partial v/\partial y:
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} = -2 A x y^{2}.
Agora integramos essa expressão em relação a y para obter v(x,y). A integral é
v(x,y) = \int -2 A x y^{2}\, dy = -2 A x \cdot \frac{y^{3}}{3} + C(x),
onde C(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque ao integrar em y a constante pode ser função de x). Simplificando o fator:
v(x,y) = -\frac{2}{3} A x y^{3} + C(x).
Observação importante e justificativa prática: sem condições adicionais (condições de contorno) não é possível determinar C(x). Uma escolha comum, e natural em muitos exercícios, é assumir C(x)=0 (por exemplo, isso faz com que v(x,0)=0, i.e., a componente vertical seja zero na linha y=0); essa escolha fornece uma expressão simples e única para v. Vou seguir essa escolha para obter uma resposta explícita. Substituindo A=0,3 e C(x)=0 obtemos numericamente
v(x,y) = -\frac{2}{3}\cdot 0,3\; x y^{3} = -0,2\; x y^{3}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Agora vamos às linhas de corrente (streamlines). Definição prática: uma streamline é uma curva tangente ao vetor velocidade em cada ponto; no caso estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias instantâneas. A equação para uma streamline é dada pela equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{v(x,y)}{u(x,y)}.
Essa é uma ODE que relaciona a inclinação da curva com as componentes da velocidade.
Substituindo u e v (com C(x)=0):
\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{2}{3}A x y^{3}}{A x^{2} y^{2}}.
Cancelamos A e simplificamos as potências de x e y:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x}\; y.

Passo 5

Resolver a ODE (separável). Escrevemos
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx
\ln y = -\frac{2}{3}\ln x + \ln C,
onde \ln C é a constante de integração (escolhi escrever como log de uma constante positiva C). Exponenciando:
y = C\, x^{-2/3}.
Agora impomos a condição de que a streamline passe por (1,4). Substituindo x=1, y=4 obtemos
4 = C \cdot 1^{-2/3} = C,
portanto C=4. Assim a linha de corrente que passa por (1,4) é
y = 4\, x^{-2/3} \quad\text{ou}\quad y=\frac{4}{x^{2/3}}.

Passo 6

Desenho/descrição da streamline (como plotar sem figura): algumas observações e pontos para rascunho prático — isso facilita desenhar na folha:
  • Comportamento: quando x\to 0^{+}, x^{-2/3}\to +\infty, logo y\to +\infty; quando x\to +\infty, y\to 0^{+}. A curva é positiva para x>0 e decresce monotonamente (porque \frac{dy}{dx}<0 para x>0).
  • Alguns pontos fáceis: x=1 \Rightarrow y=4;
x=8 \Rightarrow x^{2/3}=4 \Rightarrow y=\frac{4}{4}=1;
x=\frac{1}{8} \Rightarrow x^{2/3}=\frac{1}{4} \Rightarrow y=\frac{4}{1/4}=16.
  • Para desenhar: marque (1,4), (8,1), (0,16) (aproximadamente muito à esquerda) e esboce uma curva suave que decresce de +\infty quando x vai a 0^{+} até aproximar y=0 quando x cresce.
Pronto — temos a componente v compatível com incompressibilidade (escolhendo v(x,0)=0 para fixar a constante) e a equação explícita da streamline pedida.

Resposta

v(x,y) = -\dfrac{2}{3}A x y^{3} + C(x). \newline
Escolhendo C(x)=0 (caso usual que dá v(x,0)=0) com A=0,3: v(x,y) = -0,2\, x y^{3}\\ \mathrm{(m/s)}. \newline
Equação da streamline que passa por (1,4): y = 4\, x^{-2/3} (ou y=\dfrac{4}{x^{2/3}}).

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