5.7 A viscous liquid is sheared between two parallel disks of radius R, one of which rotates while the other is fixed. The velocity field is purely tangential, and the velocity varies linearly with z from V_{\theta}=0 at z=0 (the fixed disk) to the velocity of the rotating disk at its surface ( z=h ). Derive an expression for the velocity field between the disks.

Passo 1

O enunciado descreve fluido viscoso entre duas superfícies planas circulares (discos) paralelas de raio R, separadas por uma distância h. Uma das superfícies (o disco em z=h) gira, a outra (em z=0) está fixa. A velocidade do fluido é puramente tangencial e, para cada posição radial r, varia linearmente com z desde V_{\theta}=0 em z=0 até o valor da velocidade tangencial do disco rotativo em z=h.\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n\n- Os discos têm raio R.\n- A separação entre discos é h.\n- A velocidade é puramente tangencial (isto é, componentes radial e axial nulas).\n- Para cada r, a variação da velocidade tangencial com z é linear entre as faces.\n- A velocidade tangencial no disco girante (superfície em z=h) vale a velocidade de um ponto do disco a distância r do eixo (isto é, \Omega r se o disco gira com velocidade angular \Omega).\n\nO que se pede: obter uma expressão para o campo de velocidade entre os discos (isto é, V_{\theta}(r,z), e também explicitar as outras componentes se for o caso).

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), pois o problema tem simetria circular. Vamos definir claramente as variáveis usadas:\n\n- r = distância radial ao eixo ( 0\le r\le R ).\n- \theta = ângulo azimutal (não aparece explicitamente na solução por simetria).\n- z = coordenada axial perpendicular aos discos ( 0\le z\le h ).\n- \Omega = velocidade angular do disco girante (em rad/s).\n- V_{\theta}(r,z) = componente tangencial (azimutal) da velocidade do fluido.\n- V_{r} e V_{z} = componentes radial e axial da velocidade (o enunciado diz que são nulas).\n\nEntão, pela hipótese do enunciado já sabemos que\n V_{r}(r,z)=0,\qquad V_{z}(r,z)=0,
e devemos achar V_{\theta}(r,z).

Passo 3

O enunciado afirma que, para cada r fixo, a dependência de V_{\theta} com z é linear. A forma geral de uma função linear em z (com coeficientes que podem depender de r) é\n V_{\theta}(r,z)=A(r)\,z + B(r),
onde A(r) e B(r) são funções do raio r que vamos determinar usando as condições de contorno nas superfícies z=0 e z=h.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno (condições de aderência, “no-slip”):\n\n- Na superfície fixa z=0 a velocidade tangencial do fluido é zero, isto é\n V_{\theta}(r,0)=0.\nSubstituindo a forma linear obtemos
V_{\theta}(r,0)=A(r)\cdot 0 + B(r)=B(r)=0.\nLogo B(r)=0 para todo r.\n\n- Na superfície girante z=h a velocidade tangencial do fluido coincide com a velocidade do disco, que para rotação rígida é \Omega r. Assim\n V_{\theta}(r,h)=\Omega r.\nSubstituindo B(r)=0 na forma linear,
V_{\theta}(r,h)=A(r)\,h = \Omega r.\nDessa igualdade isolamos A(r):
A(r)=\frac{\Omega r}{h}.

Passo 5

Substituindo A(r) e B(r) na expressão linear inicial obtemos a solução para a componente tangencial:
V_{\theta}(r,z)=\frac{\Omega r}{h}\,z.
Portanto o campo de velocidade completo (entre os discos, 0\le z\le h e 0\le r\le R) é dado por\n V_{r}(r,z)=0,\qquad V_{z}(r,z)=0,\qquad V_{\theta}(r,z)=\Omega r\frac{z}{h}.

Passo 6

Verificações rápidas e interpretação física:\n\n- Em z=0 obtemos V_{\theta}(r,0)=\Omega r\cdot 0/h=0, conforme o disco fixo exige.\n- Em z=h obtemos V_{\theta}(r,h)=\Omega r\cdot h/h=\Omega r, que é a velocidade do disco girante.\n- A expressão mostra que, para cada raio r, o perfil em z é uma reta que vai de 0 até \Omega r: é exatamente o caso clássico de escoamento de Couette (cisalhamento linear) entre superfícies paralelas com aderência.\n\nExemplo numérico rápido (só para intuir): se \Omega=10\\ \text{rad/s}, r=0{,}1\\ \text{m} e h=0{,}01\\ \text{m}, então em z=0{,}005\\ \text{m} temos\n V_{\theta}=10\cdot 0{,}1\cdot\frac{0{,}005}{0{,}01}=1\cdot 0{,}5=0{,}5\\ \text{m/s}.

Resposta

V_{r}(r,z)=0\n V_{z}(r,z)=0\n V_{\theta}(r,z)=\Omega r\,\dfrac{z}{h}

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