Em \theta=20,0^{\circ} C, a pressão de vapor do benzeno corresponde a 74,7 Torr e a pressão de vapor de tolueno, 22,3 Torr. Uma determinada solução de benzeno e tolueno, apresenta pressão de vapor igual a 46,0 Torr. Determine a fração molar do benzeno nessa solução e sua fração molar no vapor sobre a solução. Considere comportamento ideal e faça uso da Lei de Raoult.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
  • A pressão de vapor do benzeno pura a 20,0^\circ\text{C} é p_{\text{ben}}^* = 74{,}7\\ \text{Torr}.
  • A pressão de vapor do tolueno puro a 20,0^\circ\text{C} é p_{\text{tol}}^* = 22{,}3\\ \text{Torr}.
  • A pressão total da solução (benzeno + tolueno) medida é P_{\text{total}} = 46{,}0\\ \text{Torr}.
Perguntas:
  1. Determinar a fração molar do benzeno na solução líquida, isto é x_{\text{benzeno}}.
  2. Determinar a fração molar do benzeno no vapor acima da solução, isto é y_{\text{benzeno}}.

Passo 2

Ferramenta teórica (explicada de modo simples):
  • Para uma solução ideal a Lei de Raoult diz que a pressão parcial de cada componente é proporcional à sua fração molar no líquido e à pressão de vapor do componente puro. Escrevemos:
p_i = x_i\,p_i^*
onde:
  • p_i é a pressão parcial do componente i na mistura de vapor,
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida (entre 0 e 1),
  • p_i^* é a pressão de vapor do componente puro à mesma temperatura.
  • A pressão total P_{\text{total}} é a soma das pressões parciais (Lei das pressões parciais de Dalton):
P_{\text{total}} = \sum_i p_i = p_{\text{ben}} + p_{\text{tol}}.
  • A fração molar no vapor y_{\text{benzeno}} é dada por:
y_{\text{benzeno}} = \frac{p_{\text{ben}}}{P_{\text{total}}}.
Isto vem do fato de que, para um comportamento ideal do vapor, a fração molar em vapor é a razão entre a pressão parcial e a pressão total.
Agora aplicamos essas fórmulas aos números do enunciado.

Passo 3

Escrevendo a equação para a pressão total usando Raoult:
P_{\text{total}} = x_{\text{ben}}\,p_{\text{ben}}^* + x_{\text{tol}}\,p_{\text{tol}}^*.
Como as frações molares na fase líquida somam 1, x_{\text{tol}} = 1 - x_{\text{ben}}. Substituindo:
P_{\text{total}} = x_{\text{ben}}\,p_{\text{ben}}^* + (1-x_{\text{ben}})\,p_{\text{tol}}^*.
Agora substituímos os valores conhecidos:
46{,}0 = x_{\text{ben}} \cdot 74{,}7 + (1-x_{\text{ben}})\cdot 22{,}3.

Passo 4

Resolver a equação para x_{\text{ben}}. Primeiro expandir o segundo termo:
46{,}0 = x_{\text{ben}}\cdot 74{,}7 + 22{,}3 - x_{\text{ben}}\cdot 22{,}3.
Agrupando os termos em x_{\text{ben}}:
46{,}0 = x_{\text{ben}}(74{,}7 - 22{,}3) + 22{,}3.
Calcular a diferença e isolar x_{\text{ben}}:
74{,}7 - 22{,}3 = 52{,}4,
46{,}0 - 22{,}3 = 23{,}7,
x_{\text{ben}} = \frac{46{,}0 - 22{,}3}{74{,}7 - 22{,}3} = \frac{23{,}7}{52{,}4}.
Agora a divisão numérica:
x_{\text{ben}} = \frac{237}{524} \approx 0{,}4523.
(Expliquei: multipliquei numerador e denominador por 10 para ficar em inteiros e dividi; o resultado arredondei para 4 casas decimais para maior precisão.)

Passo 5

Calcular a pressão parcial do benzeno usando Raoult:
p_{\text{ben}} = x_{\text{ben}}\,p_{\text{ben}}^* = 0{,}4523 \times 74{,}7.
Fazendo a multiplicação:
p_{\text{ben}} \approx 33{,}786\\ \text{Torr}.
Agora a fração molar do benzeno no vapor:
y_{\text{ben}} = \frac{p_{\text{ben}}}{P_{\text{total}}} = \frac{33{,}786}{46{,}0} \approx 0{,}7345.
Interpretação rápida (para fixar): embora na fase líquida o benzeno esteja em torno de 45{,}2\% em mols, no vapor ele fica mais rico em benzeno ( \approx 73{,}5\%) porque o benzeno é muito mais volátil (maior pressão de vapor) que o tolueno.

Resposta

x_{\text{benzeno}} \approx 0{,}4523\n y_{\text{benzeno}} \approx 0{,}7345

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