Thomson determinou a razão carga/massa do elétron. Millikan determinou a carga. Explique por que, combinando os dois experimentos, foi possível calcular a massa do elétron.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que, combinando os experimentos de Thomson e de Millikan, foi possível calcular a massa do elétron.
Informações dadas (diretas ou implícitas):
  • Thomson determinou a razão carga/masa do elétron; vou representar isso por \dfrac{e}{m} (valor conhecido a partir do experimento de Thomson).
  • Millikan determinou a carga elementar do elétron; vou representar isso por e (valor conhecido a partir do experimento de Millikan).
    O objetivo é mostrar, passo a passo e didaticamente, como desses dois números se obtém a massa m do elétron.

Passo 2

O que significa medir \dfrac{e}{m} (Thomson) — ideia física e equações essenciais.
Resumo do método de Thomson (passo a passo conceitual e equações):
  • Thomson fazia passar um feixe de elétrons (raios catódicos) por campos elétrico e magnético perpendiculares e observava a deflexão do feixe. Com medições apropriadas ele determinava a razão carga sobre massa \dfrac{e}{m}.
  • Dois passos experimentais fundamentais que aparecem no raciocínio teórico:
    1. Balancear força elétrica e magnética para obter a velocidade v dos elétrons quando o feixe não é desviado. Nesse caso vale qE = qvB \quad\Rightarrow\quad v = \frac{E}{B},onde:
      • q é a carga da partícula (aqui q=e),
      • E é a intensidade do campo elétrico,
      • B é a intensidade do campo magnético,
      • v é a velocidade dos elétrons.
    2. Usar a deflexão magnética quando apenas o campo magnético atua: a força magnética fornece a força centrípeta, qvB = \frac{mv^{2}}{r},onde:
      • m é a massa da partícula,
      • r é o raio da curva descrita pelo feixe no campo magnético.
  • Eliminando v entre as duas equações obtém-se uma expressão para \dfrac{q}{m}: \frac{q}{m} = \frac{v}{Br} = \frac{E}{B^{2}r}.Como q=e para o elétron, Thomson determinou experimentalmente \frac{e}{m} = \frac{E}{B^{2}r},ou, de forma geral, um valor numérico para \dfrac{e}{m}.
Explicação das variáveis (para não restar dúvida):
  • \dfrac{e}{m} é a razão entre a carga do elétron e (em coulomb) e a massa do elétron m (em kg).
  • E,B,r são grandezas que Thomson podia medir experimentalmente, então obteve um número para \dfrac{e}{m}.

Passo 3

O que significa medir e (Millikan) — ideia física e equações essenciais.
Resumo do método de Millikan (passo a passo conceitual e equações):
  • Millikan deixou gotículas de óleo carregadas cair entre placas submetidas a um campo elétrico vertical. Observando gotas que ficavam “paradas” (equilíbrio) ou caíam com velocidade terminal, ele conseguiu calcular a carga elétrica q de cada gota. Dos resultados, concluiu que todas as cargas medidas eram múltiplos inteiros de uma carga fundamental e.
  • Fórmulas usadas (forma simplificada e as ideias; cada variável será explicada):
    1. Equilíbrio estático (gota parada entre placas): a força elétrica equilibra o peso efetivo (peso menos empuxo): qE = mg - F_{\text{empuxo}}.Escrevendo o peso efetivo em termos da densidade do óleo e do ar: mg - F_{\text{empuxo}} = \frac{4}{3}\pi r^{3} (\rho_{\text{oil}} - \rho_{\text{ar}})\,g,onde:
      • q é a carga da gota (em C),
      • E é o campo elétrico entre as placas (em N/C),
      • m é a massa da gota (em kg),
      • r é o raio da gota (em m),
      • \rho_{\text{oil}} e \rho_{\text{ar}} são densidades do óleo e do ar (em kg/m^3),
      • g é a aceleração da gravidade.
        Assim,
      q = \frac{\tfrac{4}{3}\pi r^{3} (\rho_{\text{oil}} - \rho_{\text{ar}})\,g}{E}.
    2. Para obter r (o raio da gota) Millikan usava a velocidade terminal da gota em queda livre e a lei de Stokes (arrasto viscoso para esferas em fluxo laminar): 6\pi \eta r v_{\text{term}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}(\rho_{\text{oil}} - \rho_{\text{ar}})\,g,onde:
      • \eta é a viscosidade do ar,
      • v_{\text{term}} é a velocidade terminal medida experimentalmente.
        Daí se resolve para r e, em seguida, para q.
  • Resultado final: Millikan obtinha várias medidas de q e notou que todas eram múltiplos inteiros de uma menor carga e, identificada como a carga elementar do elétron: q = n e \quad\text{com \(n\) inteiro}.Assim Millikan determinou o valor numérico de e.

Passo 4

Como combinar os resultados para obter m — dedução algébrica e interpretação física simples.
  • Temos de Thomson um valor numérico para \dfrac{e}{m}. Escrevo: \left(\frac{e}{m}\right)_{\text{Thomson}} = R \quad\text{(valor experimental conhecido)}.
  • Temos de Millikan o valor numérico para e: e_{\text{Millikan}} = e \quad\text{(valor experimental conhecido)}.
  • Queremos m. Basta isolar m da razão \dfrac{e}{m}. Algebraicamente: \frac{e}{m} = R \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{e}{R}.Ou explicitamente, m = \frac{e_{\text{Millikan}}}{(e/m)_{\text{Thomson}}}.
Interpretação física curta e clara:
  • Thomson deu o “relógio relativo”: quantos coulombs por quilograma a partícula carrega ( \dfrac{e}{m}). Isso não fixa a escala absoluta de carga; poderia ser uma partícula leve com pouca carga ou pesada com carga maior — somente a razão é conhecida.
  • Millikan deu a “unidade de carga” e em coulombs, isto é, fixou a escala absoluta da carga elétrica.
  • Juntando-os, conhecendo a escala absoluta de e e sabendo quantos coulombs essa carga representa por quilograma ( \dfrac{e}{m}), consegue-se a massa absoluta m.

Passo 5

Exemplo numérico histórico (apenas para ver como sai o número da massa).
  • Valores históricos aproximados: \left(\frac{e}{m}\right)_{\text{Thomson}}\approx 1{,}7588\times10^{11}\\ \mathrm{C\cdot kg^{-1}}, \qquad e_{\text{Millikan}}\approx 1{,}6022\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Aplicando m=\dfrac{e}{(e/m)}: m \approx \frac{1{,}6022\times10^{-19}}{1{,}7588\times10^{11}}\\ \mathrm{kg} \approx 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Esse é o valor conhecido hoje para a massa do elétron, obtido historicamente ao combinar essas medições.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (resumindo de forma prática e amigável)
  • A fórmula-chave para lembrar é simples e ótima para a prova: m = \frac{e_{\text{(Millikan)}}}{(e/m)_{\text{(Thomson)}}}.
  • Conceitualmente: Thomson dá razão (proporção), Millikan dá a unidade; razão × unidade → magnitude absoluta.
  • Atenção com unidades: e em coulomb, \dfrac{e}{m} em coulomb por quilograma; a divisão dá quilogramas, como deve ser.
  • No exame, se pedirem justificar, explique brevemente (i) o que cada experimento mediu e (ii) escreva a álgebra curta que isola m. Isso vale muitos pontos porque mostra entendimento físico e habilidade algébrica.

Resposta

Porque Thomson mediu a razão \dfrac{e}{m} e Millikan mediu a carga elementar e; assim a massa do elétron é
m=\frac{e_{\text{(Millikan)}}}{(e/m)_{\text{(Thomson)}}},
o que numericamente dá aproximadamente
m\approx 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.

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