29. Três forças estão aplicadas em um cilindro que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro. Sabendo que
e
, a) qual deve ser o módulo de
de forma que o cilindro não gire? Agora, suponha que a massa do cilindro é de 2 kg e que
N. b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor aceleração do cilindro.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (peguei os valores numéricos do enunciado e as posições/ângulos da figura mostrada):
Da figura (uso esses detalhes da imagem; se você interpretar a figura de outra forma me avise):
- O cilindro gira em torno de um eixo fixo que passa pelo centro (o centro não se desloca).
- A força
está aplicada na borda externa (raio ) em posição superior, apontando para a esquerda — isto é, é praticamente tangencial à borda naquele ponto. - A força
está aplicada na borda externa (raio ) em um ponto que forma com a vertical (para a direita), e a força apontada na direção mostrada (para baixo e para a direita). Na resolução eu vou usar a interpretação usual: o ângulo indica a posição do ponto onde age (não o ângulo entre força e raio), e a força tem componente perpendicular ao raio que contribui para o momento. - A força
age numa borda interna (raio ); na parte (a) precisamos achar o módulo de para que o cilindro não gire (equilíbrio rotacional). Na parte (b) será dado e a massa .
Observação importante sobre interpretação: a figura é um pouco esquemática; assumi que onde uma força está “sobre a borda” ela tem componente tangencial que é a responsável pelo torque e que podemos calcular o momento usando a componente perpendicular da força ao raio. Se você quiser outra interpretação geométrica da figura (por ex. forças exatamente radiais, ou outras posições), me diga e eu refaço os cálculos.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula rápida e prática sobre torque/rotação):
- O torque (momento) produzido por uma força em relação ao centro é dado por
cuja magnitude, quando usamos o módulo do raio
e a componente de
perpendicular ao raio, é
onde
é o ângulo entre o vetor
(do centro até o ponto de aplicação) e a força
. Explicando as variáveis:
-
é a distância do centro até o ponto de aplicação da força (aqui será ou ), -
é o módulo da força aplicada, -
é a componente da força perpendicular ao raio (é essa componente que “gera” rotação).
Para forças tangenciais (perpendiculares ao raio) temose então .
Também precisamos de sinal para torques: vou adotar que torques positivos têm sentido anti-horário (sentido matemático positivo). Assim, somando todos os torques (com seus sinais) e igualando a zero obtemos a condição de equilíbrio rotacional:
Passo 3
Converter unidades para o Sistema Internacional (sempre faça isso nas provas):
Passo 4
Determinar os torques individuais (explico a avaliação das componentes):
- Para
: pela figura, é praticamente tangencial na borda externa (perpendicular ao raio), então sua componente perpendicular é inteiro. O torque produzido por em módulo é
Quanto ao sinal: uma força para a esquerda no ponto superior tende a rotacionar o cilindro no sentido anti-horário (veja a explicação breve abaixo), então vou tomar
positiva. Numericamente:
(Comentário rápido sobre o sinal: usando eixos
para a direita e
para cima, o vetor posição no ponto superior é
e a força é
. O produto vetorial dá torque positivo.)
- Para
: a força está aplicada na borda externa num ponto que forma com a vertical (peguei essa informação da figura). A componente de que gera torque é a componente perpendicular ao raio. Se a força mostrada for essencialmente tangencial ao redor da borda (como a figura sugere), então a componente perpendicular ao raio é todo . Contudo, para levar em conta a indicação do ângulo (posição do ponto), vamos considerar que a força tem uma componente perpendicular efetiva igual a quando a figura mostra a força apontando com certo ângulo em relação ao sentido estritamente tangencial. (Isto é uma hipótese razoável para interpretar a figura; o importante é que usamos a componente perpendicular.)
Assim, vou usar
Sobre o sinal: observando a figura,
aponta para baixo e para a direita num ponto à direita-superior do centro, e isso tende a gerar torque no sentido horário (ou seja, negativo no meu convênio). Portanto tomamos
com sinal negativo. Numérico:
e, com sinal:
(Se você preferir interpretar a figura de modo que
seja totalmente tangencial, então
; o procedimento é o mesmo e eu posso refazer com essa hipótese se quiser.)
- Para
: age na borda interna (raio ). A componente de que gera torque é sua componente perpendicular ao raio; pela figura, é mostrada vertical para baixo em uma posição que gera um torque com sinal negativo (mesmo sentido que ). Vou assumir que a componente perpendicular é todo , de modo que
E pelo sentido tomado na figura,
tem sinal negativo:
Passo 5
Condição de equilíbrio rotacional (parte a): somamos os torques com sinais e igualamos a zero:
Substituindo os valores/aproximações que obtivemos:
Isolando
:
Arredondando com razoável precisão:
Interpretação física:
deve apontar de modo a produzir torque no mesmo sentido de
(sentido horário na nossa convenção) e com módulo aproximadamente
aplicado a
para anular o efeito de
e da componente de
.
Passo 6
Agora a parte (b): suponha
e
. O cilindro tem o eixo fixo no centro, então não há aceleração linear do centro de massa — o movimento possível é rotação em torno do eixo fixo. Portanto a “aceleração do cilindro” que faz sentido aqui é a aceleração angular
. Vamos calcular
a partir da segunda lei de Newton para rotação:
onde
é o momento de inércia do cilindro em torno do eixo central. Vou assumir que o cilindro é sólido (isso é o caso mais comum); para um cilindro sólido uniforme de raio
(usa-se o raio externo, aqui
) o momento de inércia é
Explico as variáveis:
é a massa,
o raio externo (distância máxima que importa para o armazenamento de energia rotacional). Substituindo:
Passo 7
Calcular o torque resultante para
usando os mesmos sinais dos passos anteriores:
-
, -
, -
.
Somando:
Isso é positivo, ou seja, o torque resultante é no sentido anti-horário (mesmo sentido de
).
Passo 8
Aceleração angular:
Arredondando com duas casas significativas coerentes com os dados:
Direção e sentido do vetor aceleração angular:
- Aceleração angular é um vetor
ao longo do eixo do cilindro. Pelo convênio de sinais usamos o sentido positivo (resultado positivo) como anti-horário visto de cima; portanto aponta para fora da página (seguindo a regra da mão direita). - Em palavras: módulo
, direção ao longo do eixo do cilindro (perpendicular ao plano da figura), sentido para fora da página (correspondente a rotação anti-horária quando visto de cima).