L 29. Três forças estão aplicadas em um cilindro que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro. Sabendo que R_{1}=5 \mathrm{~cm}, R_{2}=12 \mathrm{~cm}, F_{1}=6 \mathrm{~N} e F_{2}=4 \mathrm{~N}, a) qual deve ser o módulo de F_{3} de forma que o cilindro não gire? Agora, suponha que a massa do cilindro é de 2 kg e que F_{3}=2 N. b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor aceleração do cilindro.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (peguei os valores numéricos do enunciado e as posições/ângulos da figura mostrada):
R_{1}=5\\ \text{cm},\qquad R_{2}=12\\ \text{cm},\qquad F_{1}=6\\ \text{N},\qquad F_{2}=4\\ \text{N}.
Da figura (uso esses detalhes da imagem; se você interpretar a figura de outra forma me avise):
  • O cilindro gira em torno de um eixo fixo que passa pelo centro (o centro não se desloca).
  • A força F_{1} está aplicada na borda externa (raio R_{2}) em posição superior, apontando para a esquerda — isto é, é praticamente tangencial à borda naquele ponto.
  • A força F_{2} está aplicada na borda externa (raio R_{2}) em um ponto que forma \,30^\circ com a vertical (para a direita), e a força apontada na direção mostrada (para baixo e para a direita). Na resolução eu vou usar a interpretação usual: o ângulo \,30^\circ indica a posição do ponto onde F_{2} age (não o ângulo entre força e raio), e a força tem componente perpendicular ao raio que contribui para o momento.
  • A força F_{3} age numa borda interna (raio R_{1}); na parte (a) precisamos achar o módulo de F_{3} para que o cilindro não gire (equilíbrio rotacional). Na parte (b) será dado F_{3}=2\\ \text{N} e a massa m=2\\ \text{kg}.
Observação importante sobre interpretação: a figura é um pouco esquemática; assumi que onde uma força está “sobre a borda” ela tem componente tangencial que é a responsável pelo torque e que podemos calcular o momento usando a componente perpendicular da força ao raio. Se você quiser outra interpretação geométrica da figura (por ex. forças exatamente radiais, ou outras posições), me diga e eu refaço os cálculos.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida e prática sobre torque/rotação):
  • O torque (momento) produzido por uma força em relação ao centro é dado por
\tau = \mathbf{r}\times\mathbf{F},
cuja magnitude, quando usamos o módulo do raio r e a componente de F perpendicular ao raio, é
\tau = r\,F_{\perp} = r\,F\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o vetor \mathbf{r} (do centro até o ponto de aplicação) e a força \mathbf{F}. Explicando as variáveis:
  • r é a distância do centro até o ponto de aplicação da força (aqui será R_{1} ou R_{2}),
  • F é o módulo da força aplicada,
  • F_{\perp} é a componente da força perpendicular ao raio (é essa componente que “gera” rotação).
    Para forças tangenciais (perpendiculares ao raio) temos \sin\theta=1 e então \tau=rF.
Também precisamos de sinal para torques: vou adotar que torques positivos têm sentido anti-horário (sentido matemático positivo). Assim, somando todos os torques (com seus sinais) e igualando a zero obtemos a condição de equilíbrio rotacional:
\sum \tau = 0.

Passo 3

Converter unidades para o Sistema Internacional (sempre faça isso nas provas):
R_{1}=5\\ \text{cm}=0,05\\ \text{m},\qquad R_{2}=12\\ \text{cm}=0,12\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar os torques individuais (explico a avaliação das componentes):
  • Para F_{1}: pela figura, F_{1} é praticamente tangencial na borda externa (perpendicular ao raio), então sua componente perpendicular é F_{1} inteiro. O torque produzido por F_{1} em módulo é
\tau_{1}=R_{2}\,F_{1}.
Quanto ao sinal: uma força para a esquerda no ponto superior tende a rotacionar o cilindro no sentido anti-horário (veja a explicação breve abaixo), então vou tomar \tau_{1} positiva. Numericamente:
\tau_{1}=0,12\cdot 6 = 0,72\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
(Comentário rápido sobre o sinal: usando eixos x para a direita e y para cima, o vetor posição no ponto superior é (0,R_{2}) e a força é (-F_{1},0). O produto vetorial dá torque positivo.)
  • Para F_{2}: a força está aplicada na borda externa num ponto que forma \,30^\circ com a vertical (peguei essa informação da figura). A componente de F_{2} que gera torque é a componente perpendicular ao raio. Se a força mostrada for essencialmente tangencial ao redor da borda (como a figura sugere), então a componente perpendicular ao raio é todo F_{2}. Contudo, para levar em conta a indicação do ângulo 30^\circ (posição do ponto), vamos considerar que a força tem uma componente perpendicular efetiva igual a F_{2}\cos 30^\circ quando a figura mostra a força apontando com certo ângulo em relação ao sentido estritamente tangencial. (Isto é uma hipótese razoável para interpretar a figura; o importante é que usamos a componente perpendicular.)
    Assim, vou usar
\tau_{2}=R_{2}\,F_{2}\cos 30^\circ.
Sobre o sinal: observando a figura, F_{2} aponta para baixo e para a direita num ponto à direita-superior do centro, e isso tende a gerar torque no sentido horário (ou seja, negativo no meu convênio). Portanto tomamos \tau_{2} com sinal negativo. Numérico:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660,
\tau_{2}=0,12\cdot 4\cdot 0,8660 \approx 0,4157\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m},
e, com sinal:
\tau_{2} \approx -0,4157\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
(Se você preferir interpretar a figura de modo que F_{2} seja totalmente tangencial, então \tau_{2}=R_{2}F_{2}=0,48\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}; o procedimento é o mesmo e eu posso refazer com essa hipótese se quiser.)
  • Para F_{3}: F_{3} age na borda interna (raio R_{1}). A componente de F_{3} que gera torque é sua componente perpendicular ao raio; pela figura, F_{3} é mostrada vertical para baixo em uma posição que gera um torque com sinal negativo (mesmo sentido que F_{2}). Vou assumir que a componente perpendicular é todo F_{3}, de modo que
\tau_{3}=R_{1}\,F_{3}.
E pelo sentido tomado na figura, \tau_{3} tem sinal negativo:
\tau_{3} \approx -R_{1}\,F_{3} = -0,05\,F_{3}\quad (\text{N}\!\cdot\!\text{m}).

Passo 5

Condição de equilíbrio rotacional (parte a): somamos os torques com sinais e igualamos a zero:
\sum \tau = \tau_{1}+\tau_{2}+\tau_{3}=0.
Substituindo os valores/aproximações que obtivemos:
0{,}72 + (-0{,}4157) + (-0{,}05\,F_{3}) = 0.
Isolando F_{3}:
-0{,}05\,F_{3} = -0{,}72 + 0{,}4157 = -0{,}3043,
F_{3} = \frac{0{,}3043}{0{,}05} \approx 6{,}086.
Arredondando com razoável precisão:
F_{3}\approx 6{,}09\\ \text{N}.
Interpretação física: F_{3} deve apontar de modo a produzir torque no mesmo sentido de F_{2} (sentido horário na nossa convenção) e com módulo aproximadamente 6{,}09\\ \text{N} aplicado a R_{1}=0{,}05\\ \text{m} para anular o efeito de F_{1} e da componente de F_{2}.

Passo 6

Agora a parte (b): suponha m=2\\ \text{kg} e F_{3}=2\\ \text{N}. O cilindro tem o eixo fixo no centro, então não há aceleração linear do centro de massa — o movimento possível é rotação em torno do eixo fixo. Portanto a “aceleração do cilindro” que faz sentido aqui é a aceleração angular \boldsymbol{\alpha}. Vamos calcular \alpha a partir da segunda lei de Newton para rotação:
\sum \tau = I\,\alpha,
onde I é o momento de inércia do cilindro em torno do eixo central. Vou assumir que o cilindro é sólido (isso é o caso mais comum); para um cilindro sólido uniforme de raio R (usa-se o raio externo, aqui R_{2}) o momento de inércia é
I=\tfrac{1}{2} m R_{2}^{2}.
Explico as variáveis: m é a massa, R_{2} o raio externo (distância máxima que importa para o armazenamento de energia rotacional). Substituindo:
I=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot (0,12)^{2} = 1\cdot 0{,}0144 = 0{,}0144\\ \text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{2}.

Passo 7

Calcular o torque resultante para F_{3}=2\\ \text{N} usando os mesmos sinais dos passos anteriores:
  • \tau_{1}=+0{,}72\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m},
  • \tau_{2}\approx -0{,}4157\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m},
  • \tau_{3}=-0{,}05\cdot 2 = -0{,}10\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
Somando:
\sum \tau = 0{,}72 - 0{,}4157 - 0{,}10 = 0{,}2043\\ \text{N}\!\cdot\!\text{m}.
Isso é positivo, ou seja, o torque resultante é no sentido anti-horário (mesmo sentido de \tau_{1}).

Passo 8

Aceleração angular:
\alpha = \frac{\sum \tau}{I} = \frac{0{,}2043}{0{,}0144} \approx 14{,}1875\\ \text{rad/s}^{2}.
Arredondando com duas casas significativas coerentes com os dados:
\alpha \approx 14{,}2\\ \text{rad/s}^{2}.
Direção e sentido do vetor aceleração angular:
  • Aceleração angular é um vetor \boldsymbol{\alpha} ao longo do eixo do cilindro. Pelo convênio de sinais usamos o sentido positivo (resultado positivo) como anti-horário visto de cima; portanto \boldsymbol{\alpha} aponta para fora da página (seguindo a regra da mão direita).
  • Em palavras: módulo \approx 14{,}2\\ \text{rad/s}^{2}, direção ao longo do eixo do cilindro (perpendicular ao plano da figura), sentido para fora da página (correspondente a rotação anti-horária quando visto de cima).

Resposta

F_{3}\approx 6{,}09\\ \mathrm{N}
|\boldsymbol{\alpha}|\approx 14{,}2\\ \mathrm{rad/s^{2}}; direção: ao longo do eixo (perpendicular ao plano da figura); sentido: para fora da página (rotação anti-horária).

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