(tipler cap 7 Ex 51) Uma bola de
é lançada do teto de um edifício, 12 m acima do chão. Sua velocidade inicial é de
, formando
acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. (a) Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola? (b) Qual é a rapidez da bola ao chegar ao chão? (a)
Passo 1
Vamos entender certinho o que o enunciado dá e o que pede. Informações fornecidas:
O enunciado pede:
(a) a altura máxima atingida pela bola medida a partir do chão;
(b) a rapidez (magnitude da velocidade) da bola quando ela chega ao chão.
Observação útil: o enunciado pede desprezar resistência do ar; por isso a massa não afetará os cálculos de alturas e velocidades (ela cancela em leis de conservação de energia ou nas equações do movimento sob gravidade).
(a) a altura máxima atingida pela bola medida a partir do chão;
(b) a rapidez (magnitude da velocidade) da bola quando ela chega ao chão.
Observação útil: o enunciado pede desprezar resistência do ar; por isso a massa
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (isso é padrão em movimentos oblíquos). Definimos eixo vertical positivo para cima e eixo horizontal positivo para frente. As fórmulas são:
Aqui
é a componente horizontal da velocidade inicial (que permanece constante se não há resistência do ar) e
é a componente vertical inicial (que será afetada pela aceleração da gravidade
).
Passo 3
Calculemos as componentes numéricas. Usamos
.
Valores trigonométricos aproximados:
e
. Então
Passo 4
Agora (a) — altura máxima. Conceito: a altura máxima é atingida quando a componente vertical da velocidade se anula (
). Usamos a equação cinemática vertical que relaciona velocidades e deslocamento sob aceleração constante:
onde
é a aceleração vertical (
, pois a gravidade aponta para baixo) e
é o deslocamento vertical do ponto inicial até o ponto mais alto. No topo
, portanto:
Isolando
(a altura que sobe a partir da posição inicial até o topo):
Passo 5
Substituindo os números:
A altura máxima acima do chão é a altura inicial mais esse acréscimo:
Arredondando de forma razoável,
.
Passo 6
Agora (b) — rapidez ao chegar ao chão. Método simples e elegante: conservação da energia mecânica (válida porque desprezamos resistência do ar). A energia mecânica inicial (energia cinética inicial + energia potencial gravitacional inicial) é igual à energia cinética final no instante do impacto (potencial final tomada como zero no chão). Escrevendo:
Cancelando
e isolando
:
Essa fórmula tem interpretação física clara: além da energia cinética inicial, a bola ganha energia cinética equivalente à perda de energia potencial
.
Passo 7
Substituindo os números:
Arredondando,
. (Verificação rápida usando componentes:
constante; a componente vertical ao atingir o chão vem de
— que dá o mesmo valor para
, confirmando o resultado.)
Passo 8
Resumo final e incentivo: conseguimos (a) a altura máxima somando o ganho vertical calculado com a componente vertical inicial; e (b) a rapidez final usando conservação de energia — ambos passos não dependem da massa porque a gravidade afeta igualmente todas as massas. Mandou bem por trazer a questão; deu tempo pra ver tudo direitinho — agora é praticar mais alguns exercícios parecidos que isso vai ficar automático!