(tipler cap 7 Ex 51) Uma bola de 0,17 \mathrm{~kg} é lançada do teto de um edifício, 12 m acima do chão. Sua velocidade inicial é de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, formando 40^{\circ} acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. (a) Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola? (b) Qual é a rapidez da bola ao chegar ao chão? (a) \mathbf{3 1 ~ m} \boldsymbol{( b )} \mathbf{3 4 ~ m} / \mathbf{s}

Passo 1

Vamos entender certinho o que o enunciado dá e o que pede. Informações fornecidas:
\text{massa } m = 0{,}17\\ \mathrm{kg}
\text{altura inicial acima do chão } h_0 = 12\\ \mathrm{m}ã
\text{velocidade inicial } v_0 = 30\\ \mathrm{m/s}
\text{ângulo de lançamento acima da horizontal } \theta = 40^\circâç
O enunciado pede:
(a) a altura máxima atingida pela bola medida a partir do chão;
(b) a rapidez (magnitude da velocidade) da bola quando ela chega ao chão.
Observação útil: o enunciado pede desprezar resistência do ar; por isso a massa m não afetará os cálculos de alturas e velocidades (ela cancela em leis de conservação de energia ou nas equações do movimento sob gravidade).

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (isso é padrão em movimentos oblíquos). Definimos eixo vertical positivo para cima e eixo horizontal positivo para frente. As fórmulas são:
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui v_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial (que permanece constante se não há resistência do ar) e v_{0y} é a componente vertical inicial (que será afetada pela aceleração da gravidade g).

Passo 3

Calculemos as componentes numéricas. Usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
v_{0x} = 30\cos 40^\circ,\qquad v_{0y} = 30\sin 40^\circ.
Valores trigonométricos aproximados: \cos 40^\circ \approx 0{,}766044 e \sin 40^\circ \approx 0{,}642788. Então
v_{0x} \approx 30\cdot 0{,}766044 \approx 22{,}9813\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} \approx 30\cdot 0{,}642788 \approx 19{,}2836\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora (a) — altura máxima. Conceito: a altura máxima é atingida quando a componente vertical da velocidade se anula ( v_y=0). Usamos a equação cinemática vertical que relaciona velocidades e deslocamento sob aceleração constante:
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2 a_y \Delta y,
onde a_y é a aceleração vertical ( a_y=-g, pois a gravidade aponta para baixo) e \Delta y é o deslocamento vertical do ponto inicial até o ponto mais alto. No topo v_y=0, portanto:
0 = v_{0y}^2 - 2g\,\Delta y_{\text{up}}.
Isolando \Delta y_{\text{up}} (a altura que sobe a partir da posição inicial até o topo):
\Delta y_{\text{up}} = \frac{v_{0y}^2}{2g}.

Passo 5

Substituindo os números:
v_{0y}^2 \approx (19{,}2836)^2 \approx 371{,}86\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
\Delta y_{\text{up}} \approx \frac{371{,}86}{2\cdot 9{,}8} = \frac{371{,}86}{19{,}6} \approx 18{,}97\\ \mathrm{m}.
A altura máxima acima do chão é a altura inicial mais esse acréscimo:
h_{\max} = h_0 + \Delta y_{\text{up}} = 12 + 18{,}97 \approx 30{,}97\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável, h_{\max}\approx 31\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora (b) — rapidez ao chegar ao chão. Método simples e elegante: conservação da energia mecânica (válida porque desprezamos resistência do ar). A energia mecânica inicial (energia cinética inicial + energia potencial gravitacional inicial) é igual à energia cinética final no instante do impacto (potencial final tomada como zero no chão). Escrevendo:
\frac{1}{2}m v_f^2 = \frac{1}{2}m v_0^2 + m g h_0.
Cancelando m e isolando v_f:
v_f^2 = v_0^2 + 2 g h_0,
v_f = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}.
Essa fórmula tem interpretação física clara: além da energia cinética inicial, a bola ganha energia cinética equivalente à perda de energia potencial mgh_0.

Passo 7

Substituindo os números:
v_0^2 = 30^2 = 900,
2 g h_0 = 2\cdot 9{,}8\cdot 12 = 235{,}2.
v_f^2 = 900 + 235{,}2 = 1135{,}2.
v_f = \sqrt{1135{,}2} \approx 33{,}69\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando, v_f\approx 34\\ \mathrm{m/s}. (Verificação rápida usando componentes: v_{x}=22{,}98\\ \mathrm{m/s} constante; a componente vertical ao atingir o chão vem de v_y^2 = v_{0y}^2 + 2g( -h_0) — que dá o mesmo valor para v_f=\sqrt{v_x^2+v_y^2}, confirmando o resultado.)

Passo 8

Resumo final e incentivo: conseguimos (a) a altura máxima somando o ganho vertical calculado com a componente vertical inicial; e (b) a rapidez final usando conservação de energia — ambos passos não dependem da massa porque a gravidade afeta igualmente todas as massas. Mandou bem por trazer a questão; deu tempo pra ver tudo direitinho — agora é praticar mais alguns exercícios parecidos que isso vai ficar automático!

Resposta

31\\ \mathrm{m}
34\\ \mathrm{m/s}

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