(2,0 pontos) Considerem um circuito R C alimentado por um uma voltagem constante de V=5 volts. Se o capacitor de C=10^{3} \mu F estiver totalmente carregado e R=50 k \Omega, entāo:
(a) Calcule o tempo característico \tau do circuito.
(b) Qual porcentagem do tempo característico deverá ter passado para que 90 \% da carga do capacitor tenha se esvaído?

Passo 1

O enunciado dá um circuito RC alimentado por uma tensão constante V=5 volts. Foi informado que o capacitor está totalmente carregado inicialmente e os valores são:
C = 10^{3}\\ \mu F
R = 50\\ \text{k}\Omega
O que é pedido:
(a) Calcular o tempo característico \tau do circuito.
(b) Determinar qual porcentagem do tempo característico deverá ter passado para que 90\% da carga do capacitor tenha se esvaído (isto é, para que reste 10\% da carga inicial).

Passo 2

Entendendo o que é o tempo característico \tau e convertendo unidades.
A definição prática do tempo característico em um circuito RC é
\tau = R\,C.
Aqui R é a resistência em ohms ( \Omega) e C é a capacitância em farads (F). O produto tem dimensão de tempo (segundos), porque [\,\Omega\cdot\text{F}\,]=\text{s}.
Agora convertemos as unidades dadas para unidades padrão:
C = 10^{3}\\ \mu F = 10^{3}\times 10^{-6}\\ \text{F} = 10^{-3}\\ \text{F},
R = 50\\ \text{k}\Omega = 50\times 10^{3}\\ \Omega.

Passo 3

Cálculo do tempo característico \tau. Substituímos na fórmula \tau=RC:
\tau = \bigl(50\times 10^{3}\bigr)\cdot\bigl(10^{-3}\bigr)\\ \text{s}.
Fazendo a conta (cancele 10^{3} com 10^{-3}):
\tau = 50\\ \text{s}.
Interpretação rápida: \tau é o tempo em que, num processo de descarga, a carga do capacitor decai para cerca de 36{,}8\% do valor inicial (porque e^{-1}\approx 0{,}3679).

Passo 4

Equação do decaimento da carga durante a descarga e o que significa “90% esvaído”.
Durante a descarga num circuito RC sem fonte, a carga Q(t) varia assim:
Q(t)=Q_0\,e^{-t/\tau},
onde Q_0 é a carga inicial e t é o tempo passado. “90% esvaído” significa que restou 10\% da carga inicial, ou seja
Q(t)=0,1\,Q_0.

Passo 5

Resolver a equação para t. Começamos dividindo por Q_0:
0,1 = e^{-t/\tau}.
Aplicando logaritmo natural dos dois lados:
\ln(0,1) = -\frac{t}{\tau}.
Usando \ln(0,1)=\ln(1/10)=-\ln(10) obtemos
\frac{t}{\tau} = \ln(10).

Passo 6

Avaliar numericamente \ln(10) e converter para porcentagem.
\ln(10)\approx 2{,}302585093. Portanto
\frac{t}{\tau}\approx 2{,}3026.
Para expressar isso como porcentagem do tempo característico, multiplicamos por 100\%:
\text{porcentagem} \approx 230{,}26\%.
Isto significa que é preciso esperar cerca de 2{,}3026 vezes \tau, ou seja mais de duas vezes \tau, para que 90\% da carga se esvaia.

Passo 7

Calcular também o tempo em segundos (útil para intuição):
t = \tau\ln(10) \approx 50\cdot 2{,}3026 \approx 115{,}13\\ \text{s}.
Comentário encorajador: é normal que peças da prova peçam essas contas com exponenciais e logaritmos — aqui o método é sempre transformar a fração restante em exponencial e aplicar log para isolar t. Você conseguiu acompanhar!

Resposta

(a) \tau = 50\\ \text{s}
(b) 230{,}26\% do tempo característico (isto é, t\approx 115{,}13\\ \text{s}, ou t\approx 2{,}3026\,\tau)

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