Titã, a maior lua de Saturno, tem um raio orbital médio de
. O período orbital de Titã é de 15,95 dias. Hipérion, outra lua de Saturno, orbita em um raio médio de
. Use a terceira lei do movimento planetário de Kepler para prever o período orbital de Hipérion, em dias.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem duas luas de Saturno: Titã e Hipérion. A gente sabe que Titã tem raio médio orbital
e período
enquanto Hipérion orbita a
e a gente quer descobrir o seu período orbital
Isso é um exercício clássico de terceira lei de Kepler, que diz que para órbitas em torno do mesmo corpo (no caso, Saturno), vale
Passo 2
Vamos escrever a relação entre Titã (índice 1) e Hipérion (índice 2). Como a constante é a mesma, temos
Daí, isolando
$$T_2^2 = T_12,\frac{a_23}{a_1^3}
\quad\Longrightarrow\quad
T_2 = T_1;\Bigl(\frac{a_2}{a_1}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}},. $$
Isso mostra o porquê de a gente só usar razão de distâncias e o expoente : é a essência da terceira lei de Kepler.
Isso mostra o porquê de a gente só usar razão de distâncias e o expoente
Passo 3
Agora vamos calcular passo a passo. Primeiro, a razão das distâncias:
Em seguida elevamos isso à potência
. Lembra que
. Então
Passo 4
Por fim, é só multiplicar pelo período de Titã:
Resposta
O período orbital de Hipérion é, aproximadamente,
dias.