Titã, a maior lua de Saturno, tem um raio orbital médio de 1,22 times 10^9 m. O período orbital de Titã é de 15,95 dias. Hipérion, outra lua de Saturno, orbita em um raio médio de 1,48 times 10^9 m. Use a terceira lei do movimento planetário de Kepler para prever o período orbital de Hipérion, em dias.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo? A gente tem duas luas de Saturno: Titã e Hipérion. A gente sabe que Titã tem raio médio orbital
a1 = 1,22times10^9,m
e período
T1 = 15,95,dias,
enquanto Hipérion orbita a
a2 = 1,48times10^9,m
e a gente quer descobrir o seu período orbital T2 em dias.
Isso é um exercício clássico de terceira lei de Kepler, que diz que para órbitas em torno do mesmo corpo (no caso, Saturno), vale
T^2a^3 = constante

Passo 2

Vamos escrever a relação entre Titã (índice 1) e Hipérion (índice 2). Como a constante é a mesma, temos
T1^2a1^3 ;=;T2^2a2^3
Daí, isolando T2, fica
$$T_2^2 = T_12,\frac{a_23}{a_1^3}
\quad\Longrightarrow\quad
T_2 = T_1;\Bigl(\frac{a_2}{a_1}\Bigr)^{\tfrac{3}{2}},. $$
Isso mostra o porquê de a gente só usar razão de distâncias e o expoente T2^2 = T1^2,a2^3a1^3 Longrightarrow T2 = T1;l(a2a1r)^tfrac32, : é a essência da terceira lei de Kepler.

Passo 3

Agora vamos calcular passo a passo. Primeiro, a razão das distâncias:
a2a1 = 1,48times10^91,22times10^9 = 1,481,22 approx 1,2131
Em seguida elevamos isso à potência 3/2. Lembra que x^3/2 = x^1cdot x^1/2 = xraizx. Então
l(1,2131r)^3/2 = 1,2131 times raiz1,2131 approx 1,2131 times 1,1014 approx 1,3354

Passo 4

Por fim, é só multiplicar pelo período de Titã:
T2 = T1 times 1,3354 = 15,95,dias times 1,3354 approx 21,3,dias

Resposta

O período orbital de Hipérion é, aproximadamente, 21,3 dias.

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