Em todas as questões haverá um valor que dependerá do “N”, sendo “N” o último algarismo da matrícula UFMG d @ alun @. Caso (
), considerar (
).
- Em um projeto estrutural de sustentação, uma barra horizontal rígida AB está presa por pinos na extremidade A e é sustentada por dois cabos ( CD e EF ) nos pontos D e F . Uma carga vertical
age na extremidade B da barra. A barra
tem comprimento 3 b . O cabo CD tem diâmetro
e módulo de elasticidade
cabo EF tem diâmetro
e módulo
.
Calcule a carga máxima
para as seguintes condições: o cabo CD é feito de alumínio com módulo
, diâmetro
e comprimento
.
O cabo EF é feito de magnésio com
, diâmetro
e comprimento
. As tensões admissíveis nos cabos de alumínio e de magnésio são respectivamente:
- Alumínio:
e
.
- Magnésio:
e
.
Desconsidere o peso das barras…
Calcule a carga máxima
O cabo EF é feito de magnésio com
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a carga máxima
que pode ser aplicada em de modo que as tensões nos dois elementos verticais não ultrapassem os limites admissíveis fornecidos.
- Calcular a carga máxima
-
Informações fornecidas (peguei algumas destas informações da figura enviada):
- A barra rígida
é presa por pino em e tem comprimento total . Na figura os pontos estão a cada ; portanto e as posições (distâncias de ) são: -
(ponto ), -
(ponto ), -
(ponto , onde age ).
-
- Cabo/hastrut 1 (entre
e ) — material alumínio: -
, - diâmetro
, - comprimento
. - tensão admissível em tração
.
-
- Cabo/hastrut 2 (entre
e ) — material magnésio: -
, - diâmetro
, - comprimento
. - tensão admissível em tração
.
-
- As tensões admissíveis em compressão também foram dadas, mas, com o deslocamento esperado (barra girando para baixo em
), os elementos ficarão solicitados à tração. (Mais adiante confirmamos isso por compatibilidade.) - Desconsiderar peso das barras.
- A barra rígida
Observação:
é o último algarismo da matrícula; o enunciado pede expressar
e
em função de
. Vou, portanto, manter
simbólico e apresentar
como função de
.
Passo 2
Escrever as equações de equilíbrio estático (forças verticais e momentos) para a barra rígida.
-
Forças verticais (soma = 0):onde
é a reação vertical no pino de , e são as forças axiais dos elementos verticais em e , positivas para tração para cima. -
Momentos em torno de
(soma = 0). Tomando momentos positivos no sentido que convém: Substituindo as posições:Esta equação relaciona, e . Observe que eliminamos ao tomar momentos em .
Passo 3
Compatibilidade cinemática e relação força-deformação dos dois elementos (Lei de Hooke).
-
A barra é rígida e gira em torno de
com pequeno ângulo . A deflexão vertical em um ponto a uma distância de é aproximadamente adotandopara deslocamento para baixo. -
Portanto as deslocações verticais nas ligações são:
-
Cada elemento axial tem rigidez axial
(força por deslocamento), e a relação força-deslocamento é com sendo o alongamento do elemento. Aqui o alongamento é igual à descida do ponto da barra (teto fixo), logo e . Assim:
Para simplificar, defino
de modo que
e
.
Passo 4
Combinar compatibilidade com equilíbrio para eliminar
e obter
e
em função de
.
-
Substituindo
e na equação de momentos: Agrupando: -
Assim as forças nos elementos são:
Passo 5
Expressar as tensões em cada elemento e a condição para
.
- As tensões axiais são
.
Substituindoe e lembrando , obtemos, após simplificação:
- As condições admissíveis em tração são
Para cada condição isolada podemos isolar e obter e ; o valor máximo permitido pela estrutura é
Passo 6
Calcular áreas das seções transversais (usar os diâmetros dados).
- Área circular:
.
Passo 7
Avaliar numericamente os termos que aparecem em
,
e em
.
- Usando
e :
Assim
Passo 8
Obter expressões numéricas finais para
e
(usando os valores das tensões admissíveis).
-
A partir de
isola-se : Substituindo os números e simplificando (os cálculos numéricos foram feitos mantendo precisão suficiente) obtém-se -
A partir de
isola-se : Substituindo os números: -
Lembrando que
e , pode-se escrever explicitamente em função de :
Passo 9
Conclusão: carga máxima admissível considerando ambos os elementos.
- A carga máxima admissível é a menor das duas restrições:
- Observação prática: para um
específico basta substituir nas expressões acima e tomar o mínimo; as unidades das expressões são Newtons.