Em todas as questões haverá um valor que dependerá do “N”, sendo “N” o último algarismo da matrícula UFMG d @ alun @. Caso ( \mathbf{N}=\mathbf{0} ), considerar ( \mathbf{N}=\mathbf{1 0} ).
  1. Em um projeto estrutural de sustentação, uma barra horizontal rígida AB está presa por pinos na extremidade A e é sustentada por dois cabos ( CD e EF ) nos pontos D e F . Uma carga vertical \mathbf{P} age na extremidade B da barra. A barra \mathrm{A}-\mathrm{B} tem comprimento 3 b . O cabo CD tem diâmetro \mathrm{d}_{1} e módulo de elasticidade \mathrm{E}_{1}, \mathrm{o} cabo EF tem diâmetro \mathrm{d}_{2} e módulo \mathrm{E}_{2}.
    Calcule a carga máxima \boldsymbol{P} para as seguintes condições: o cabo CD é feito de alumínio com módulo \mathrm{E}_{1}=70 \mathrm{GPa}, diâmetro \mathrm{d}_{1}=6 \mathrm{~cm} e comprimento \mathrm{L}_{1}=(4+\mathrm{N} / 10) \mathrm{m}.
    O cabo EF é feito de magnésio com \mathrm{E}_{2}=50 \mathrm{GPa}, diâmetro \mathrm{d}_{2}=3,0 \mathrm{~cm} e comprimento
    \mathrm{L}_{2}=(3+\mathrm{N} / 10) \mathrm{m}. As tensões admissíveis nos cabos de alumínio e de magnésio são respectivamente:
  • Alumínio: \sigma_{\text {adm, tração, } \mathrm{Al}}=200 \mathrm{MPa}çã e \sigma_{\text {adm, compressão, } \mathrm{Al}}=150 \mathrm{MPa}ã.
  • Magnésio: \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{adm}, \text { tração, magnésio }}=\mathbf{1 5 0 ~ M P a}çãé e \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{adm}, \text { compressão, magnésio }}=\mathbf{1 2 0 ~ M P a}ãé.
Desconsidere o peso das barras…

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a carga máxima P que pode ser aplicada em B de modo que as tensões nos dois elementos verticais não ultrapassem os limites admissíveis fornecidos.
  • Informações fornecidas (peguei algumas destas informações da figura enviada):
    • A barra rígida A\!-\!B é presa por pino em A e tem comprimento total 3b. Na figura os pontos estão a cada 2\\ \mathrm{m}; portanto b=2\\ \mathrm{m} e as posições (distâncias de A) são:
      • x_D = 2\\ \mathrm{m} (ponto D),
      • x_F = 4\\ \mathrm{m} (ponto F),
      • x_B = 6\\ \mathrm{m} (ponto B, onde age P).
    • Cabo/hastrut 1 (entre C e D) — material alumínio:
      • E_1 = 70\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
      • diâmetro d_1 = 6{,}0\\ \mathrm{cm},
      • comprimento L_1 = 4 + \dfrac{N}{10}\\ \mathrm{m}.
      • tensão admissível em tração \sigma_{\mathrm{adm,Al}} = 200\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Cabo/hastrut 2 (entre E e F) — material magnésio:
      • E_2 = 50\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},
      • diâmetro d_2 = 3{,}0\\ \mathrm{cm},
      • comprimento L_2 = 3 + \dfrac{N}{10}\\ \mathrm{m}.
      • tensão admissível em tração \sigma_{\mathrm{adm,Mg}} = 150\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • As tensões admissíveis em compressão também foram dadas, mas, com o deslocamento esperado (barra girando para baixo em B), os elementos ficarão solicitados à tração. (Mais adiante confirmamos isso por compatibilidade.)
    • Desconsiderar peso das barras.
Observação: N é o último algarismo da matrícula; o enunciado pede expressar L_1 e L_2 em função de N. Vou, portanto, manter N simbólico e apresentar P_{\max} como função de N.

Passo 2

Escrever as equações de equilíbrio estático (forças verticais e momentos) para a barra rígida.
  • Forças verticais (soma = 0):
    R_A + F_1 + F_2 - P = 0,
    onde R_A é a reação vertical no pino de A, F_1 e F_2 são as forças axiais dos elementos verticais em D e F, positivas para tração para cima.
  • Momentos em torno de A (soma = 0). Tomando momentos positivos no sentido que convém:
    F_1\cdot x_D + F_2\cdot x_F - P\cdot x_B = 0.
    Substituindo as posições:
    F_1\cdot 2 + F_2\cdot 4 - P\cdot 6 = 0.
    Esta equação relaciona F_1, F_2 e P. Observe que eliminamos R_A ao tomar momentos em A.

Passo 3

Compatibilidade cinemática e relação força-deformação dos dois elementos (Lei de Hooke).
  • A barra é rígida e gira em torno de A com pequeno ângulo \theta. A deflexão vertical em um ponto a uma distância x de A é aproximadamente
    v(x)=\theta\,x,
    adotando v>0 para deslocamento para baixo.
  • Portanto as deslocações verticais nas ligações são:
    v_D = \theta\cdot 2,\qquad v_F=\theta\cdot 4.
  • Cada elemento axial tem rigidez axial k_i = \dfrac{A_i E_i}{L_i} (força por deslocamento), e a relação força-deslocamento é F_i = k_i \,\delta_i com \delta_i sendo o alongamento do elemento. Aqui o alongamento é igual à descida do ponto da barra (teto fixo), logo \delta_1=v_D e \delta_2=v_F. Assim:
    F_1 = \dfrac{A_1 E_1}{L_1}\,(\theta\cdot 2)=\Big(\dfrac{2A_1 E_1}{L_1}\Big)\theta,
F_2 = \dfrac{A_2 E_2}{L_2}\,(\theta\cdot 4)=\Big(\dfrac{4A_2 E_2}{L_2}\Big)\theta.
Para simplificar, defino
k_1 \equiv \dfrac{2A_1E_1}{L_1},\qquad k_2\equiv \dfrac{4A_2E_2}{L_2},
de modo que F_1=k_1\theta e F_2=k_2\theta.

Passo 4

Combinar compatibilidade com equilíbrio para eliminar \theta e obter F_1 e F_2 em função de P.
  • Substituindo F_1=k_1\theta e F_2=k_2\theta na equação de momentos:
    2(k_1\theta)+4(k_2\theta)-6P=0.
    Agrupando \theta:
    \theta(2k_1+4k_2)=6P \quad\Rightarrow\quad \theta=\dfrac{6P}{2k_1+4k_2}.
  • Assim as forças nos elementos são:
    F_1 = k_1\theta = \dfrac{6P\,k_1}{2k_1+4k_2} = \dfrac{3P\,k_1}{k_1+2k_2},
F_2 = k_2\theta = \dfrac{6P\,k_2}{2k_1+4k_2} = \dfrac{3P\,k_2}{k_1+2k_2}.

Passo 5

Expressar as tensões em cada elemento e a condição para P_{\max}.
  • As tensões axiais são \sigma_i = \dfrac{F_i}{A_i}.
    Substituindo F_1 e F_2 e lembrando k_1=\dfrac{2A_1E_1}{L_1}, k_2=\dfrac{4A_2E_2}{L_2} obtemos, após simplificação: \sigma_1 = \dfrac{6P\,E_1/L_1}{\,2A_1E_1/L_1+8A_2E_2/L_2\,} = \dfrac{6P\,E_1/L_1}{k_1+2k_2},
\sigma_2 = \dfrac{12P\,E_2/L_2}{\,2A_1E_1/L_1+8A_2E_2/L_2\,} = \dfrac{12P\,E_2/L_2}{k_1+2k_2}.
  • As condições admissíveis em tração são \sigma_1 \le \sigma_{\mathrm{adm,Al}},\qquad \sigma_2 \le \sigma_{\mathrm{adm,Mg}}.Para cada condição isolada podemos isolar P e obter P\le P_{\max,1} e P\le P_{\max,2}; o valor máximo permitido pela estrutura é P_{\max}=\min\{P_{\max,1},\,P_{\max,2}\}.

Passo 6

Calcular áreas das seções transversais (usar os diâmetros dados).
  • Área circular: A=\pi (d/2)^2. A_1 = \pi(0,03)^2 = 0,0009\pi\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,002827433\\ \mathrm{m}^2,
A_2 = \pi(0,015)^2 = 0,000225\pi\\ \mathrm{m}^2 \approx 0,0007068583\\ \mathrm{m}^2.

Passo 7

Avaliar numericamente os termos que aparecem em k_1, k_2 e em k_1+2k_2.
  • Usando E_1=70\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e E_2=50\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}: 2A_1E_1 = 2\cdot(0,0009\pi)\cdot 70\times10^{9} = 126\times10^{6}\pi \\ \mathrm{N},
8A_2E_2 = 8\cdot(0,000225\pi)\cdot 50\times10^{9} = 90\times10^{6}\pi \\ \mathrm{N}.
Assim
k_1+2k_2 = \dfrac{126\times10^{6}\pi}{L_1} + \dfrac{90\times10^{6}\pi}{L_2}.

Passo 8

Obter expressões numéricas finais para P_{\max,1} e P_{\max,2} (usando os valores das tensões admissíveis).
  • A partir de \sigma_1=\dfrac{6P E_1/L_1}{k_1+2k_2} isola-se P:
    P_{\max,1}=\sigma_{\mathrm{adm,Al}}\;\dfrac{k_1+2k_2}{6E_1/L_1} =\dfrac{\sigma_{\mathrm{adm,Al}}}{6E_1}\,(k_1+2k_2)\,L_1.
    Substituindo os números e simplificando (os cálculos numéricos foram feitos mantendo precisão suficiente) obtém-se
    P_{\max,1}\approx 188495{,}533 \;+\;134639{,}676\;\dfrac{L_1}{L_2}\quad(\mathrm{N}).
  • A partir de \sigma_2=\dfrac{12P E_2/L_2}{k_1+2k_2} isola-se P:
    P_{\max,2}=\sigma_{\mathrm{adm,Mg}}\;\dfrac{k_1+2k_2}{12E_2/L_2} =\dfrac{\sigma_{\mathrm{adm,Mg}}}{12E_2}\,(k_1+2k_2)\,L_2.
    Substituindo os números:
    P_{\max,2}\approx 70685{,}830 \;+\;98960{,}155\;\dfrac{L_2}{L_1}\quad(\mathrm{N}).
  • Lembrando que L_1=4+\dfrac{N}{10} e L_2=3+\dfrac{N}{10}, pode-se escrever explicitamente em função de N:
    P_{\max,1}(N)\approx 188495{,}533 \;+\;134639{,}676\;\dfrac{4+\dfrac{N}{10}}{3+\dfrac{N}{10}},
P_{\max,2}(N)\approx 70685{,}830 \;+\;98960{,}155\;\dfrac{3+\dfrac{N}{10}}{4+\dfrac{N}{10}}.

Passo 9

Conclusão: carga máxima admissível considerando ambos os elementos.
  • A carga máxima admissível é a menor das duas restrições: P_{\max}(N)=\min\{\,P_{\max,1}(N),\;P_{\max,2}(N)\,\}.
  • Observação prática: para um N específico basta substituir N nas expressões acima e tomar o mínimo; as unidades das expressões são Newtons.

Resposta

P_{\max}(N)=\min\Bigg\{\,188495{,}533 \;+\;134639{,}676\;\dfrac{4+\dfrac{N}{10}}{3+\dfrac{N}{10}}\;,\;70685{,}830 \;+\;98960{,}155\;\dfrac{3+\dfrac{N}{10}}{4+\dfrac{N}{10}}\,\Bigg\}\\ \mathrm{N}.

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