Exercício 4. (Ex. 8.53) Sabendo que o elemento DE tem 25 mm de largura e 3 mm de espessura, determine a tensão normal na parte central desse elemento quando (a)
e (b)
.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado dá que o elemento
tem largura e espessura . - O enunciado pede: determinar a tensão normal na parte central desse elemento quando (a)
e (b) .
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para obter um valor numérico):
- Não foram dadas forças, esforços internos ou tensões iniciais (por exemplo: força axial
, momento fletor , esforço cortante , ou as componentes de tensão ). - Não foi enviada nenhuma figura nem a orientação/posição das cargas no elemento.
Sem essas informações de carregamento ou das componentes de tensão, não é possível calcular numericamente a tensão normal pedida. A seguir vou explicar passo a passo tudo o que você precisa saber e como proceder para resolver essa questão no exame assim que tiver (ou souber extrair) as informações que faltam.
Passo 2
Calcular a área da seção (informação que podemos obter com os dados fornecidos).
- Seja
a largura e a espessura da seção retangular; aqui e . - A área da seção transversal é
- Substituindo:
Explicação didática: a área é necessária se houver uma força axial
, porque a tensão normal média por força axial é a força dividida pela área (
). Essa é a primeira ferramenta que normalmente usamos.
Passo 3
Se houver força axial
: calcular a tensão normal média por tração/pressão.
- Fórmula (tensão normal média por força axial):
onde
-
é a tensão normal (positiva para tração), -
é a força axial (em N), -
é a área da seção (em ou , cuidar das unidades).
Didática: se só existe
ao longo do eixo
, então a peça “sente” a mesma tensão
em todos os pontos da seção (campo de tensão uniforme), inclusive no centro.
Passo 4
Se houver momento fletor
: calcular a tensão normal por flexão (distribuição linear).
- Fórmula (tensão por flexão simples, eixo neutro no centro):
onde
-
é o momento fletor (N·mm), -
é a distância do ponto ao eixo neutro (mm), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (mm^4). -
Momento de inércia para seção retangular com base
e altura (eixo passando pelo centro, paralelo à base):
Com
e
:
- Observação importante para o ponto central: no centro da seção
. Logo, a contribuição da flexão à tensão normal no centro é
Didática: isso significa que, para flexão pura, o eixo neutro atravessa o centro e no centro a tensão normal por flexão é zero — as tensões normais por flexão crescem linearmente à medida que nos afastamos do centro.
Passo 5
Se houver esforço cortante
: calcular a tensão de cisalhamento média/na fibra neutra (caso seja relevante para transformação de tensões).
- Para seção retangular, a componente de cisalhamento na fibra neutra (valor máximo de
no centro) é
onde
é o esforço cortante. Alternativamente, pela fórmula genérica:
com
sendo o primeiro momento de área da parte da seção acima (ou abaixo) do ponto considerado.
Didática: se existir cisalhamento, teremos uma componente
que entra nas transformações de tensão em planos inclinados.
Passo 6
Transformação de tensões para um plano inclinado por um ângulo
.
- Se no elemento, nas coordenadas
, as componentes de tensão no centro são , então a tensão normal numa face cujo plano faz ângulo com o eixo é dada por:
Explicando as variáveis:
-
é a tensão normal na direção (por exemplo, pode ser se houver axial e flexão), -
é a tensão normal na direção , -
é a tensão de cisalhamento na orientação - , -
é o ângulo entre a normal da nova face e o eixo (convencionalmente sentido anticlockwise).
Didática: essa fórmula é a equação de transformação de tensões (bem usada em provas). Ela permite calcular a tensão normal em qualquer plano inclinado sabendo as componentes na orientação cartesiana.
Passo 7
Aplicar a fórmula de transformação para os ângulos pedidos (
e
); análise algebraica simples (independente de valores numéricos).
-
Para
: -
, -
, - Substituindo na fórmula:
Ou seja: a tensão normal na face comé simplesmente . -
-
Para
: -
, -
, - Substituindo:
Ou seja: a tensão normal na face comé simplesmente . -
Didática/observação prática: isso é intuitivo — plano com
é paralelo ao plano onde se mede
; plano com
corresponde a
.
Passo 8
Colocar tudo junto: como resolver na prova passo a passo (checklist prático).
- Identifique as componentes de tensão na orientação
: - Calcule
(p.ex. incluindo sinais e no ponto considerado). - Calcule
(frequentemente zero para placas estreitas com carga axial uniaxial). - Calcule
(se existir esforço cortante relevante).
- Calcule
- No ponto central da seção (o enunciado pediu “parte central”):
- Para flexão, use
(portanto ali). - A contribuição axial permanece
.
- Para flexão, use
- Use as fórmulas do Passo 7:
-
. -
.
-
- Se não houver forças que produzam
, então . Se houver só força axial e nenhuma outra tensão: -
e ⇒ e .
-
- Se houver só momento fletor
e nenhum : - No centro
⇒ por flexão e tipicamente ⇒ ambas as tensões normais pedidas são zero.
- No centro
Passo 9
Exemplos rápidos e intuitivos (para fixar):
-
Exemplo A (apenas força axial
): -
. Se (hipótese didática), então . - Assim
e .
-
-
Exemplo B (apenas momento
): - No centro
⇒ . Então e .
- No centro
Esses exemplos mostram como, dependendo do carregamento, o resultado muda muito — por isso os carregamentos são informação essencial.
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos porque o enunciado não informa esforços (força axial
, momento
, esforço cortante
ou as componentes de tensão
).\n\nSe houver apenas força axial
:
e
, com
.\n\nSe houver apenas momento fletor
: no centro da seção
e portanto
e
.