Exercício 4. (Ex. 8.53) Sabendo que o elemento DE tem 25 mm de largura e 3 mm de espessura, determine a tensão normal na parte central desse elemento quando (a) \theta=0 e (b) \theta=90^{\circ}.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá que o elemento DE tem largura 25\\ \text{mm} e espessura 3\\ \text{mm}.
  • O enunciado pede: determinar a tensão normal na parte central desse elemento quando (a) \theta=0 e (b) \theta=90^\circ.
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são essenciais para obter um valor numérico):
  • Não foram dadas forças, esforços internos ou tensões iniciais (por exemplo: força axial N, momento fletor M, esforço cortante V, ou as componentes de tensão \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \tau_{xy}).
  • Não foi enviada nenhuma figura nem a orientação/posição das cargas no elemento.
Sem essas informações de carregamento ou das componentes de tensão, não é possível calcular numericamente a tensão normal pedida. A seguir vou explicar passo a passo tudo o que você precisa saber e como proceder para resolver essa questão no exame assim que tiver (ou souber extrair) as informações que faltam.

Passo 2

Calcular a área da seção (informação que podemos obter com os dados fornecidos).
  • Seja b a largura e h a espessura da seção retangular; aqui b=25\\ \text{mm} e h=3\\ \text{mm}.
  • A área da seção transversal é
A = b h.
  • Substituindo:
A = 25\\ \text{mm}\times 3\\ \text{mm} = 75\\ \text{mm}^2.
Explicação didática: a área é necessária se houver uma força axial N, porque a tensão normal média por força axial é a força dividida pela área ( \sigma=N/A). Essa é a primeira ferramenta que normalmente usamos.

Passo 3

Se houver força axial N: calcular a tensão normal média por tração/pressão.
  • Fórmula (tensão normal média por força axial):
\sigma_{\text{axial}} = \frac{N}{A},
onde
  • \sigma_{\text{axial}} é a tensão normal (positiva para tração),
  • N é a força axial (em N),
  • A é a área da seção (em \text{mm}^2 ou \text{m}^2, cuidar das unidades).
Didática: se só existe N ao longo do eixo x, então a peça “sente” a mesma tensão \sigma_x=N/A em todos os pontos da seção (campo de tensão uniforme), inclusive no centro.

Passo 4

Se houver momento fletor M: calcular a tensão normal por flexão (distribuição linear).
  • Fórmula (tensão por flexão simples, eixo neutro no centro):
\sigma_{\text{flexão}} = \frac{M\,y}{I},ã
onde
  • M é o momento fletor (N·mm),
  • y é a distância do ponto ao eixo neutro (mm),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (mm^4).
  • Momento de inércia para seção retangular com base b e altura h (eixo passando pelo centro, paralelo à base):
I = \frac{b h^{3}}{12}.
Com b=25\\ \text{mm} e h=3\\ \text{mm}:
I = \frac{25\cdot 3^{3}}{12}=\frac{25\cdot 27}{12}=\frac{675}{12}=56{,}25\\ \text{mm}^4.
  • Observação importante para o ponto central: no centro da seção y=0. Logo, a contribuição da flexão à tensão normal no centro é
\sigma_{\text{flexão, centro}}=\frac{M\cdot 0}{I}=0.ã
Didática: isso significa que, para flexão pura, o eixo neutro atravessa o centro e no centro a tensão normal por flexão é zero — as tensões normais por flexão crescem linearmente à medida que nos afastamos do centro.

Passo 5

Se houver esforço cortante V: calcular a tensão de cisalhamento média/na fibra neutra (caso seja relevante para transformação de tensões).
  • Para seção retangular, a componente de cisalhamento na fibra neutra (valor máximo de \tau no centro) é
\tau_{\max}=\frac{3V}{2A},
onde V é o esforço cortante. Alternativamente, pela fórmula genérica:
\tau = \frac{VQ}{Ib},
com Q sendo o primeiro momento de área da parte da seção acima (ou abaixo) do ponto considerado.
Didática: se existir cisalhamento, teremos uma componente \tau_{xy} que entra nas transformações de tensão em planos inclinados.

Passo 6

Transformação de tensões para um plano inclinado por um ângulo \theta.
  • Se no elemento, nas coordenadas x,y, as componentes de tensão no centro são \sigma_x,\\ \sigma_y,\\ \tau_{xy}, então a tensão normal numa face cujo plano faz ângulo \theta com o eixo x é dada por:
\sigma_n(\theta)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta.
Explicando as variáveis:
  • \sigma_x é a tensão normal na direção x (por exemplo, \sigma_x pode ser \dfrac{N}{A}+\dfrac{M y}{I} se houver axial e flexão),
  • \sigma_y é a tensão normal na direção y,
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento na orientação x- y,
  • \theta é o ângulo entre a normal da nova face e o eixo x (convencionalmente sentido anticlockwise).
Didática: essa fórmula é a equação de transformação de tensões (bem usada em provas). Ela permite calcular a tensão normal em qualquer plano inclinado sabendo as componentes na orientação cartesiana.

Passo 7

Aplicar a fórmula de transformação para os ângulos pedidos ( \theta=0 e \theta=90^\circ); análise algebraica simples (independente de valores numéricos).
  • Para \theta=0:
    • \cos 2\theta = \cos 0 = 1,
    • \sin 2\theta = 0,
    • Substituindo na fórmula:
    \sigma_n(0)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cdot 1 + \tau_{xy}\cdot 0 = \sigma_x.
    Ou seja: a tensão normal na face com \theta=0 é simplesmente \sigma_x.
  • Para \theta=90^\circ:
    • \cos 2\theta = \cos 180^\circ = -1,
    • \sin 2\theta = 0,
    • Substituindo:
    \sigma_n(90^\circ)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cdot(-1)+\tau_{xy}\cdot 0 = \sigma_y.
    Ou seja: a tensão normal na face com \theta=90^\circ é simplesmente \sigma_y.
Didática/observação prática: isso é intuitivo — plano com \theta=0 é paralelo ao plano onde se mede \sigma_x; plano com \theta=90^\circ corresponde a \sigma_y.

Passo 8

Colocar tudo junto: como resolver na prova passo a passo (checklist prático).
  1. Identifique as componentes de tensão na orientação x,y:
    • Calcule \sigma_x (p.ex. \sigma_x=\dfrac{N}{A}+\dfrac{M_x\,y}{I_x} incluindo sinais e y no ponto considerado).
    • Calcule \sigma_y (frequentemente zero para placas estreitas com carga axial uniaxial).
    • Calcule \tau_{xy} (se existir esforço cortante relevante).
  2. No ponto central da seção (o enunciado pediu “parte central”):
    • Para flexão, use y=0 (portanto \sigma_{\text{flexão}}=0ã ali).
    • A contribuição axial permanece \sigma_{\text{axial}}=N/A.
  3. Use as fórmulas do Passo 7:
    • \sigma_n(0)=\sigma_x.
    • \sigma_n(90^\circ)=\sigma_y.
  4. Se não houver forças que produzam \sigma_y, então \sigma_y=0. Se houver só força axial N e nenhuma outra tensão:
    • \sigma_x=N/A e \sigma_y=0 \sigma_n(0)=N/A e \sigma_n(90^\circ)=0.
  5. Se houver só momento fletor M e nenhum N:
    • No centro y=0 \sigma_x=0 por flexão e tipicamente \sigma_y=0 ⇒ ambas as tensões normais pedidas são zero.

Passo 9

Exemplos rápidos e intuitivos (para fixar):
  • Exemplo A (apenas força axial N):
    • A=75\\ \text{mm}^2. Se N=1500\\ \text{N} (hipótese didática), então \sigma_x=\dfrac{1500}{75}=20\\ \text{N/mm}^2.
    • Assim \sigma_n(0)=20\\ \text{N/mm}^2 e \sigma_n(90^\circ)=0.
  • Exemplo B (apenas momento M):
    • No centro y=0 \sigma_{\text{flexão}}=0ã. Então \sigma_n(0)=0 e \sigma_n(90^\circ)=0.
Esses exemplos mostram como, dependendo do carregamento, o resultado muda muito — por isso os carregamentos são informação essencial.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos porque o enunciado não informa esforços (força axial N, momento M, esforço cortante V ou as componentes de tensão \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}).\n\nSe houver apenas força axial N: \sigma(\theta=0)=\dfrac{N}{A} e \sigma(\theta=90^\circ)=0, com A=25\\ \text{mm}\times3\\ \text{mm}=75\\ \text{mm}^2.\n\nSe houver apenas momento fletor M: no centro da seção y=0 e portanto \sigma(\theta=0)=0 e \sigma(\theta=90^\circ)=0.

Exercícios relacionados