Exercício 12. (Ex. 9.77) As barras de aço BE e AD têm uma seção transversal de 6 \times 18 \mathrm{~mm} cada. Sabendo que \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}, determine as deflexões dos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C da barra rígida ABC .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • As barras de aço BE e AD têm seção transversal 6\times18\\ \mathrm{mm} cada. (Dado extraído do enunciado.)
    • Módulo de Young E=200\\ \mathrm{GPa}. (Dado extraído do enunciado.)
    • Pede-se: determinar as deflexões dos pontos A, B e C da barra rígida ABC.
  • Informação que falta (necessária para calcular valores numéricos):
    • Não foi enviada a figura/diagrama com as geometrias (posições de A, B, C, comprimentos das barras AD e BE, distâncias ao eixo de rotação ou referência, e a condição de apoio/interna: extremos fixos, cargas aplicadas na barra rígida, etc.).
    • Sem esses dados geométricos e sem as cargas (ou a indicação de que não há cargas externas), não é possível obter valores numéricos das deflexões.
Observação: o enunciado depende de um diagrama (posição das barras, distâncias entre pontos, apoios e cargas). Como esse diagrama não foi enviado, não é possível calcular números finais. A seguir eu explico passo a passo o método correto e o desenvolvimento simbólico completo — assim que tiver a figura ou esses dados numéricos, você poderá aplicar os passos e obter as deflexões rapidamente.

Passo 2

Calcular a área da seção e apresentar a fórmula da rigidez axial da barra (aula curta).
  • Área da seção transversal A:
A = 6\\ \text{mm}\times 18\\ \text{mm} = 108\\ \text{mm}^2.
Para trabalhar no SI, converter para metros quadrados:
A = 108\\ \text{mm}^2 = 108\times10^{-6}\\ \text{m}^2 = 1{,}08\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • Rigidez axial de uma barra (constante de mola axial) é dada por:
k = \frac{EA}{L},
onde:
  • E é o módulo de Young ( \mathrm{Pa});
  • A é a área da seção transversal ( \mathrm{m}^2);
  • L é o comprimento da barra ( \mathrm{m}).
    Explicação rápida: uma barra submetida a uma pequena elongação axial \Delta produz uma força axial F=EA\Delta/L. Assim, se pensarmos na barra como uma mola axial, sua constante elástica é k=EA/L.
  • Com os valores numéricos conhecidos ( E e A) pode-se calcular EA:
EA = 200\times10^9\\ \mathrm{Pa}\times 1{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}16\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
Esse valor é útil: as constantes k das barras serão k_1=\dfrac{EA}{L_{AD}} e k_2=\dfrac{EA}{L_{BE}}. Note que é preciso conhecer L_{AD} e L_{BE}.

Passo 3

Modelagem do sistema: conectar barras axiais a uma barra rígida — definir incógnitas e compatibilidades (conceito e fórmulas).
  • Situação física (típica para este tipo de exercício): a barra rígida ABC é ligada nas suas posições A e B a duas barras axiais AD e BE que vão a apoios fixos em D e E. As barras AD e BE trabalham à tração/compresão. A barra rígida pode sofrer uma translação vertical e uma rotação pequena. (Isso é a situação genérica; a figura do enunciado confirmaria isso.)
  • Escolha de graus de liberdade da barra rígida (método de corpos rígidos):
    • Tomar como incógnitas a translação vertical de referência \delta (por exemplo deslocamento vertical do ponto C ou do centro de rotação escolhido) e a pequena rotação \varphi (em radianos) da barra rígida. Essas duas incógnitas representam os dois modos de movimento da barra rígida (translação + rotação).
  • Coordenadas dos pontos: definir as abscissas horizontais (em relação a C ou outro ponto de referência). Por exemplo:
    • x_A = posição horizontal de A medida a partir de C (pode ser negativa se A estiver à esquerda de C);
    • x_B = posição horizontal de B medida a partir de C.
  • Deslocamentos verticais dos pontos conectados às barras (compatibilidade geométrica, pequena rotação):
    • Deslocamento vertical no ponto A:
    u_A = \delta + \varphi\, x_A.
    • Deslocamento vertical no ponto B:
    u_B = \delta + \varphi\, x_B.
    • Deslocamento vertical no ponto C (se C for nossa origem x_C=0):
    u_C = \delta.
Explicação: para pequena rotação \varphi da barra rígida, o deslocamento adicional em um ponto a uma distância horizontal x é aproximadamente \varphi x. Sinal e orientação devem ser consistentes com a convenção escolhida.

Passo 4

Forças axiais nas barras em termos dos deslocamentos (lei de Hooke axial).
  • Para barras com as extremidades inferiores fixas em D e E, as elongações relativas são simplesmente u_A e u_B (se a outra extremidade está fixa). Então as forças axiais são:
F_A = k_1\, u_A = k_1(\delta + \varphi x_A), \qquad F_B = k_2\, u_B = k_2(\delta + \varphi x_B),
onde k_1=\dfrac{EA}{L_{AD}} e k_2=\dfrac{EA}{L_{BE}}.
  • Unidade e sinal: F_A e F_B positivos indicam forças para cima no corpo rígido (ou conforme convenção). É importante manter a mesma convenção ao escrever as equações de equilíbrio.

Passo 5

Escrever as equações de equilíbrio da barra rígida (forças verticais e momento) — teoria aplicada.
  • Equilíbrio de forças verticais (somatório das forças verticais que a barra rígida sofre = resultante das cargas externas aplicadas sobre ela). Denote V a resultante vertical das cargas externas aplicadas à barra rígida (positiva para cima). Então:
F_A + F_B + V = 0.
  • Equilíbrio de momentos (tomar momento em relação ao ponto C ou outro ponto conveniente). Denote M o momento resultante das cargas externas sobre a barra rígida (positivo segundo a convenção usada). Então:
F_A x_A + F_B x_B + M = 0.
  • Substituindo F_A e F_B em termos de \delta e \varphi obtém-se um sistema linear nas incógnitas \delta e \varphi. Escrever explicitamente:
k_1(\delta + \varphi x_A) + k_2(\delta + \varphi x_B) + V = 0,
k_1 x_A(\delta + \varphi x_A) + k_2 x_B(\delta + \varphi x_B) + M = 0.
Colocando em forma matricial (mais clara para resolver):
\begin{aligned} &(k_1 + k_2)\,\delta + (k_1 x_A + k_2 x_B)\,\varphi = -V,\\[4pt] &(k_1 x_A + k_2 x_B)\,\delta + (k_1 x_A^2 + k_2 x_B^2)\,\varphi = -M. \end{aligned}]

Passo 6

Resolver o sistema linear para \delta e \varphi (passo a passo).
  • Definir coeficientes:
K_{11} = k_1 + k_2,\qquad K_{12}=K_{21}=k_1 x_A + k_2 x_B,\qquad K_{22}=k_1 x_A^2 + k_2 x_B^2.
  • Sistema:
\begin{aligned} K_{11}\,\delta + K_{12}\,\varphi &= -V,\\[4pt] K_{21}\,\delta + K_{22}\,\varphi &= -M. \end{aligned}
  • Determinante do sistema:
\Delta = K_{11}K_{22} - K_{12}^2.
Observação física: \Delta>0 para um sistema estaticamente determinado em termos de rigidez (caso típico com barras não colineares em posições distintas).
  • Solução (regra de Cramer):
\delta = \frac{(-V)K_{22} - (-M)K_{12}}{\Delta} = \frac{-V K_{22} + M K_{12}}{\Delta},
\varphi = \frac{K_{11}(-M) - K_{21}(-V)}{\Delta} = \frac{-K_{11}M + K_{12}V}{\Delta} = \frac{M K_{11} - V K_{12}}{\Delta}\times(-1).
Para ficar com sinais consistentes com as convenções, pode escrever de forma direta:
\delta = \frac{M K_{12} - V K_{22}}{\Delta}, \qquad \varphi = \frac{V K_{12} - M K_{11}}{\Delta}.
(Escolha a expressão que mais se adapte à sua convenção de sinais; o importante é manter coerência.)]

Passo 7

Obter as deflexões nos pontos A, B e C a partir de \delta e \varphi (fórmulas finais — isto é o que o enunciado pede).
  • Uma vez conhecidas \delta e \varphi, os deslocamentos verticais pedidos são:
u_A = \delta + \varphi x_A, \qquad u_B = \delta + \varphi x_B, \qquad u_C = \delta.
  • Observações práticas:
    • Se a figura do enunciado usar um ponto de referência diferente (por exemplo distância medida a partir de A ou do centro geométrico), ajustar x_A, x_B de acordo.
    • Converter sempre comprimentos em metros ao usar EA em N e L em m para obter k em N/m e deslocamentos em metros.

Passo 8

Como aplicar numericamente (passo a passo que você fará na prova) — checklist prático.
  1. Ler a figura e anotar:
    • L_{AD} e L_{BE} (comprimentos das barras axiais);
    • posições horizontais x_A e x_B relativas à referência (por exemplo C);
    • cargas externas: resultante vertical V e momento M sobre a barra rígida (ou forças distribuídas que se reduzem a V e M).
  2. Calcular A=108\\ \text{mm}^2 = 1{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 e EA=2{,}16\times10^{7}\\ \mathrm{N} (como em Passo 2).
  3. Calcular k_1=\dfrac{EA}{L_{AD}} e k_2=\dfrac{EA}{L_{BE}} (usar L em metros).
  4. Montar K_{11},K_{12},K_{22} (ver Passo 6).
  5. Calcular \Delta e então \delta e \varphi pelas fórmulas do Passo 6.
  6. Calcular u_A,u_B,u_C pelo Passo 7.
  7. Se quiser resultados em mm, converter metros \times 1000.
Dica de prova: organize os dados numa tabela pequena (comprimentos, k, x, cargas). Isso evita erros de sinal e unidades.

Passo 9

Resumo didático rápido (para você memorizar e aplicar sob pressão na prova) — passo-a-passo curto que você pode seguir em 6 linhas na folha:
    1. Converter unidades e calcular A e EA.
    1. Calcular k_1=EA/L_{AD} e k_2=EA/L_{BE}.
    1. Anotar x_A,x_B relativas à referência escolhida.
    1. Montar as duas equações de equilíbrio: soma de forças e soma de momentos (substituir F_A=k_1(\delta+\varphi x_A), F_B=k_2(\delta+\varphi x_B)).
    1. Resolver o sistema linear por Cramer (ou pela eliminação).
    1. Calcular u_A,u_B,u_C.
Força final: siga esse roteiro e, com a figura em mãos, resolve em poucos minutos. Se quiser eu mesmo calcular passo a passo com números, me envie a figura ou os dados geométricos (comprimentos L_{AD}, L_{BE}, posições x_A,x_B e cargas externas).

Resposta

Não é possível determinar numericamente as deflexões porque a figura/diagrama com as posições, comprimentos das barras AD e BE, distâncias x_A,x_B e as cargas/condições de apoio não foi fornecida.

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