Exercício 12. (Ex. 9.77) As barras de aço BE e AD têm uma seção transversal de
cada. Sabendo que
, determine as deflexões dos pontos
e C da barra rígida ABC .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos no enunciado:
- As barras de aço
e têm seção transversal cada. (Dado extraído do enunciado.) - Módulo de Young
. (Dado extraído do enunciado.) - Pede-se: determinar as deflexões dos pontos
, e da barra rígida .
- As barras de aço
-
Informação que falta (necessária para calcular valores numéricos):
- Não foi enviada a figura/diagrama com as geometrias (posições de
, , , comprimentos das barras e , distâncias ao eixo de rotação ou referência, e a condição de apoio/interna: extremos fixos, cargas aplicadas na barra rígida, etc.). - Sem esses dados geométricos e sem as cargas (ou a indicação de que não há cargas externas), não é possível obter valores numéricos das deflexões.
- Não foi enviada a figura/diagrama com as geometrias (posições de
Observação: o enunciado depende de um diagrama (posição das barras, distâncias entre pontos, apoios e cargas). Como esse diagrama não foi enviado, não é possível calcular números finais. A seguir eu explico passo a passo o método correto e o desenvolvimento simbólico completo — assim que tiver a figura ou esses dados numéricos, você poderá aplicar os passos e obter as deflexões rapidamente.
Passo 2
Calcular a área da seção e apresentar a fórmula da rigidez axial da barra (aula curta).
- Área da seção transversal
:
Para trabalhar no SI, converter para metros quadrados:
- Rigidez axial de uma barra (constante de mola axial) é dada por:
onde:
-
é o módulo de Young ( ); -
é a área da seção transversal ( ); -
é o comprimento da barra ( ).
Explicação rápida: uma barra submetida a uma pequena elongação axialproduz uma força axial . Assim, se pensarmos na barra como uma mola axial, sua constante elástica é . -
Com os valores numéricos conhecidos (
e ) pode-se calcular :
Esse valor é útil: as constantes
das barras serão
e
. Note que é preciso conhecer
e
.
Passo 3
Modelagem do sistema: conectar barras axiais a uma barra rígida — definir incógnitas e compatibilidades (conceito e fórmulas).
- Situação física (típica para este tipo de exercício): a barra rígida
é ligada nas suas posições e a duas barras axiais e que vão a apoios fixos em e . As barras e trabalham à tração/compresão. A barra rígida pode sofrer uma translação vertical e uma rotação pequena. (Isso é a situação genérica; a figura do enunciado confirmaria isso.) - Escolha de graus de liberdade da barra rígida (método de corpos rígidos):
- Tomar como incógnitas a translação vertical de referência
(por exemplo deslocamento vertical do ponto ou do centro de rotação escolhido) e a pequena rotação (em radianos) da barra rígida. Essas duas incógnitas representam os dois modos de movimento da barra rígida (translação + rotação).
- Tomar como incógnitas a translação vertical de referência
- Coordenadas dos pontos: definir as abscissas horizontais (em relação a
ou outro ponto de referência). Por exemplo: -
= posição horizontal de medida a partir de (pode ser negativa se estiver à esquerda de ); -
= posição horizontal de medida a partir de .
-
- Deslocamentos verticais dos pontos conectados às barras (compatibilidade geométrica, pequena rotação):
- Deslocamento vertical no ponto
:
- Deslocamento vertical no ponto
:
- Deslocamento vertical no ponto
(se for nossa origem ):
- Deslocamento vertical no ponto
Explicação: para pequena rotação
da barra rígida, o deslocamento adicional em um ponto a uma distância horizontal
é aproximadamente
. Sinal e orientação devem ser consistentes com a convenção escolhida.
Passo 4
Forças axiais nas barras em termos dos deslocamentos (lei de Hooke axial).
- Para barras com as extremidades inferiores fixas em
e , as elongações relativas são simplesmente e (se a outra extremidade está fixa). Então as forças axiais são:
onde
e
.
- Unidade e sinal:
e positivos indicam forças para cima no corpo rígido (ou conforme convenção). É importante manter a mesma convenção ao escrever as equações de equilíbrio.
Passo 5
Escrever as equações de equilíbrio da barra rígida (forças verticais e momento) — teoria aplicada.
- Equilíbrio de forças verticais (somatório das forças verticais que a barra rígida sofre = resultante das cargas externas aplicadas sobre ela). Denote
a resultante vertical das cargas externas aplicadas à barra rígida (positiva para cima). Então:
- Equilíbrio de momentos (tomar momento em relação ao ponto
ou outro ponto conveniente). Denote o momento resultante das cargas externas sobre a barra rígida (positivo segundo a convenção usada). Então:
- Substituindo
e em termos de e obtém-se um sistema linear nas incógnitas e . Escrever explicitamente:
Colocando em forma matricial (mais clara para resolver):
Passo 6
Resolver o sistema linear para
e
(passo a passo).
- Definir coeficientes:
- Sistema:
- Determinante do sistema:
Observação física:
para um sistema estaticamente determinado em termos de rigidez (caso típico com barras não colineares em posições distintas).
- Solução (regra de Cramer):
Para ficar com sinais consistentes com as convenções, pode escrever de forma direta:
(Escolha a expressão que mais se adapte à sua convenção de sinais; o importante é manter coerência.)]
Passo 7
Obter as deflexões nos pontos
,
e
a partir de
e
(fórmulas finais — isto é o que o enunciado pede).
- Uma vez conhecidas
e , os deslocamentos verticais pedidos são:
- Observações práticas:
- Se a figura do enunciado usar um ponto de referência diferente (por exemplo distância medida a partir de
ou do centro geométrico), ajustar , de acordo. - Converter sempre comprimentos em metros ao usar
em N e em m para obter em N/m e deslocamentos em metros.
- Se a figura do enunciado usar um ponto de referência diferente (por exemplo distância medida a partir de
Passo 8
Como aplicar numericamente (passo a passo que você fará na prova) — checklist prático.
- Ler a figura e anotar:
-
e (comprimentos das barras axiais); - posições horizontais
e relativas à referência (por exemplo ); - cargas externas: resultante vertical
e momento sobre a barra rígida (ou forças distribuídas que se reduzem a e ).
-
- Calcular
e (como em Passo 2). - Calcular
e (usar em metros). - Montar
(ver Passo 6). - Calcular
e então e pelas fórmulas do Passo 6. - Calcular
pelo Passo 7. - Se quiser resultados em mm, converter metros
.
Dica de prova: organize os dados numa tabela pequena (comprimentos,
,
, cargas). Isso evita erros de sinal e unidades.
Passo 9
Resumo didático rápido (para você memorizar e aplicar sob pressão na prova) — passo-a-passo curto que você pode seguir em 6 linhas na folha:
-
- Converter unidades e calcular
e .
- Converter unidades e calcular
-
- Calcular
e .
- Calcular
-
- Anotar
relativas à referência escolhida.
- Anotar
-
- Montar as duas equações de equilíbrio: soma de forças e soma de momentos (substituir
, ).
- Montar as duas equações de equilíbrio: soma de forças e soma de momentos (substituir
-
- Resolver o sistema linear por Cramer (ou pela eliminação).
-
- Calcular
.
- Calcular
Força final: siga esse roteiro e, com a figura em mãos, resolve em poucos minutos. Se quiser eu mesmo calcular passo a passo com números, me envie a figura ou os dados geométricos (comprimentos
,
, posições
e cargas externas).
Resposta
Não é possível determinar numericamente as deflexões porque a figura/diagrama com as posições, comprimentos das barras
e
, distâncias
e as cargas/condições de apoio não foi fornecida.