- Todas as respostas devem ser justificadas e os cálculos devem ser apresentados.
Boa sorte!
Questöes:
3-(
) No modelo de atômico de Bohr para o Hidrogênio
, a frequência (clássica) de revolução do elétron é dada por
, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período da n-ésima órbita de Bohr pode ser escrito em termos da constante de estrutura fina (a) como:
, com
e determine os valores numéricos de a, b, d, feg, sabendo que a constante de estrutura fina é definida como
.
Boa sorte!
Questöes:
3-(
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão do modelo atômico de Bohr para o Hidrogênio. A gente vai precisar entender um pouco sobre frequências de revolução de elétrons, a constante de estrutura fina (α) e como relacionar essas coisas usando fórmulas. Nosso objetivo é mostrar que o período da n-ésima órbita pode ser escrito em termos da constante α e descobrir os expoentes que combinam as variáveis nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a fórmula da frequência de revolução do elétron no modelo de Bohr:
Aqui, $ K $ é a constante eletrostática, $ e $ é a carga do elétron, $ m $ é a massa do elétron e $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
Sabemos que no modelo de Bohr, o raio da n-ésima órbita é proporcional a $ n^{2} $. Ou seja:
Isso significa que podemos escrever $ r_n = r_1 \cdot n^{2} $, onde $ r_1 $ é o raio da primeira órbita.
Passo 4
Vamos substituir $ r $ na fórmula da frequência:
Simplificando, temos:
Note que a frequência depende de $ n^{-3} $.
Passo 5
Agora, queremos expressar $ f_n $ em termos da constante de estrutura fina $ \alpha $, que é definida como:
Vamos rearranjar essa expressão para isolar $ K e^{2} $:
Passo 6
Substituindo $ K e^{2} $ na expressão de $ f_n $:
Aqui, $ f_n $ está agora em termos de $ \alpha $, $ h $, $ c $, $ m $ e $ n $.
Passo 7
Vamos reorganizar os termos para deixar na forma pedida:
Comparando com a forma $ f_{n}=n^{a} m^{b} c^{d} h^{f} \alpha^{g} $, podemos identificar os expoentes:
Resposta
Os valores numéricos dos expoentes são:
- $ a = -3 $
- $ b = -\frac{1}{2} $
- $ d = \frac{1}{2} $
- $ f = \frac{1}{2} $
- $ g = \frac{1}{2} $