• Todas as respostas devem ser justificadas e os cálculos devem ser apresentados.
    Boa sorte!
    Questöes:
    3-( 2,0 pt ) No modelo de atômico de Bohr para o Hidrogênio (Z=1), a frequência (clássica) de revolução do elétron é dada por f=(K e^2m)^1 / 2 12 pi r^3 / 2, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período da n-ésima órbita de Bohr pode ser escrito em termos da constante de estrutura fina (a) como: fn=n^a m^b c^d h^f alpha^g, com n=1,2,3, ldots e determine os valores numéricos de a, b, d, feg, sabendo que a constante de estrutura fina é definida como alpha=K e^2h c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão do modelo atômico de Bohr para o Hidrogênio. A gente vai precisar entender um pouco sobre frequências de revolução de elétrons, a constante de estrutura fina (α) e como relacionar essas coisas usando fórmulas. Nosso objetivo é mostrar que o período da n-ésima órbita pode ser escrito em termos da constante α e descobrir os expoentes que combinam as variáveis nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula da frequência de revolução do elétron no modelo de Bohr:
f = (K e^2m)^1 / 2 12 pi r^3 / 2
Aqui, $ K $ é a constante eletrostática, $ e $ é a carga do elétron, $ m $ é a massa do elétron e $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

Sabemos que no modelo de Bohr, o raio da n-ésima órbita é proporcional a $ n^{2} $. Ou seja:
n^2
Isso significa que podemos escrever $ r_n = r_1 \cdot n^{2} $, onde $ r_1 $ é o raio da primeira órbita.

Passo 4

Vamos substituir $ r $ na fórmula da frequência:
r
Simplificando, temos:
fn = (K e^2m)^1/2 12 pi (r1 n^2)^3/2
Note que a frequência depende de $ n^{-3} $.

Passo 5

Agora, queremos expressar $ f_n $ em termos da constante de estrutura fina $ \alpha $, que é definida como:
fn
Vamos rearranjar essa expressão para isolar $ K e^{2} $:
alpha

Passo 6

Substituindo $ K e^{2} $ na expressão de $ f_n $:
K e^2
Aqui, $ f_n $ está agora em termos de $ \alpha $, $ h $, $ c $, $ m $ e $ n $.

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para deixar na forma pedida:
fn = n^-3 m^-1/2 c^1/2 h^1/2 alpha^1/2
Comparando com a forma $ f_{n}=n^{a} m^{b} c^{d} h^{f} \alpha^{g} $, podemos identificar os expoentes:

Resposta

Os valores numéricos dos expoentes são:
  • $ a = -3 $
  • $ b = -\frac{1}{2} $
  • $ d = \frac{1}{2} $
  • $ f = \frac{1}{2} $
  • $ g = \frac{1}{2} $

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