• Todas as respostas devem ser justificadas e os cálculos devem ser apresentados.
    Boa sorte!
    Questöes:
    1- ( 2,0 pt ) A emissão das antigas lâmpadas incandescentes com filamento de Tungstênio (temperatura de fusão TF=3695 K ) pode ser modelada como um corpo negro. Considere que para um dado valor de tensão elétrica, a temperatura do filamento seja de 2385 K . Responda:
    a) (1pt) Qual o comprimento de onda e a frequência no ponto máximo da distribuição espectral da emissão desta lâmpada.
    b) (1pt) A tensão do filamento é aumentada até que a irradiância total da lâmpada seja quatro vezes o valor da inicial. Qual é a nova temperatura do filamento e o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre emissões de lâmpadas incandescentes, especificamente as antigas com filamento de tungstênio. A matéria envolvida aqui é a radiação de corpo negro, que estuda como os corpos emitem radiação em diferentes temperaturas. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar duas leis principais da física: a Lei de Wien, que relaciona a temperatura de um corpo ao comprimento de onda em que a emissão é máxima, e a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a temperatura à irradiância total emitida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o problema pede na parte (a). A gente precisa encontrar o comprimento de onda (λ_max) e a frequência (ν_max) onde a emissão da lâmpada é máxima, ou seja, o pico da distribuição espectral. Sabemos que a temperatura do filamento é de 2385 K.

Passo 3

Para encontrar o comprimento de onda no pico da emissão, usamos a Lei de Wien, que diz que:
lambdamax = bT
Onde:
  • $ \lambda_{max} $ é o comprimento de onda no pico,
  • $ b $ é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente $ 2,897 \times 10^{-3} , m \cdot K $,
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 4

Vamos calcular $ \lambda_{max} $:
lambdamax
Então, o comprimento de onda no ponto máximo é aproximadamente 1215 nm.

Passo 5

Agora, para encontrar a frequência correspondente ($ \nu_{max} $), usamos a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da luz:
numax
Onde:
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} , m/s $),
  • $ \lambda_{max} $ é o comprimento de onda que acabamos de calcular.

Passo 6

Vamos calcular $ \nu_{max} $:
numax
Então, a frequência no ponto máximo é aproximadamente $ 2,47 \times 10^{14} $ Hz.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a tensão do filamento é aumentada de modo que a irradiância total (a quantidade total de energia emitida por unidade de área) seja quatro vezes maior. Queremos descobrir a nova temperatura do filamento e o novo comprimento de onda no pico da emissão.

Passo 8

A Lei de Stefan-Boltzmann nos diz que a irradiância total ($ J $) de um corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura:
J
Se a irradiância é aumentada para quatro vezes o valor inicial, podemos escrever:
J propto T^4

Passo 9

Resolvendo para $ T_{novo} $:
Tnovo
( Tnovo2385 , K )^4 = 4 implies Tnovo2385 , K = raiz[4]4 approx 1,4142
Então, a nova temperatura do filamento é aproximadamente 3367 K.

Passo 10

Com a nova temperatura, podemos novamente usar a Lei de Wien para encontrar o novo comprimento de onda no pico:
lambdamax (novo) = 2,897 times 10^-3 , m cdot K3367 , K approx 8,61 times 10^-7 , m , ou , 861 , nm
Então, o novo comprimento de onda no ponto máximo é aproximadamente 861 nm.

Resposta

a) O comprimento de onda no ponto máximo da emissão é aproximadamente 1215 nm e a frequência correspondente é aproximadamente $ 2,47 \times 10^{14} $ Hz.
b) Com a irradiância quatro vezes maior, a nova temperatura do filamento é aproximadamente 3367 K e o novo comprimento de onda no ponto máximo da emissão é aproximadamente 861 nm.

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