Todo domingo um pescador vai a um e somente um de três lugares perto de sua casa: ao mar com probabilidade 2 / 3, a um rio com probabilidade 1 / 6, ou a um lago. No mar ele consegue fisgar um peixe com probabilidade 80 \%; no rio e no lago essa probabilidade vale 40 \% e 60 \%, respectivamente.
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
  • Probabilidade de ir ao mar: \tfrac{2}{3}.
  • Probabilidade de ir ao rio: \tfrac{1}{6}.
  • Probabilidade de ir ao lago: como as três opções são exaustivas e as duas primeiras somam \tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}, a probabilidade restante para o lago é \tfrac{1}{6}.
  • Probabilidade de fisgar peixe no mar: 0,8.
  • Probabilidade de fisgar peixe no rio: 0,4.
  • Probabilidade de fisgar peixe no lago: 0,6.
Do enunciado também segue que, em cada domingo, o pescador escolhe exatamente um dos lugares e o evento “fisgar peixe” depende apenas do lugar escolhido (ou seja, usamos as probabilidades condicionais dadas).

Passo 2

Definições de eventos (para ficar claro nos cálculos):
  • Seja M o evento “foi ao mar”.
  • Seja R o evento “foi ao rio”.
  • Seja L o evento “foi ao lago”.
  • Seja F o evento “fisgou peixe”.
  • Seja F^c o evento complementar “não fisgou peixe” (uso F^c para ‘sem peixe’).
Agora uma ideia importante que vou usar (explico bem): quando queremos a probabilidade de um evento que pode acontecer por vários caminhos mutuamente exclusivos (aqui: ir ao mar, ao rio ou ao lago são caminhos exclusivos e cobrem todas as possibilidades), usamos a fórmula da probabilidade total. Ela diz que
P(F^c) = P(M)\,P(F^c\mid M) + P(R)\,P(F^c\mid R) + P(L)\,P(F^c\mid L).
Aqui P(F^c\mid M) significa “probabilidade de não fisgar dado que foi ao mar” — ou seja, o complemento de P(F\mid M).
Explico por quê: você soma a probabilidade de cada caminho ocorrer multiplicada pela probabilidade do evento desejado nesse caminho. É como somar as chances de “ir ao mar e não fisgar” + “ir ao rio e não fisgar” + “ir ao lago e não fisgar”.

Passo 3

Calcular P(F^c\mid M), P(F^c\mid R) e P(F^c\mid L):
  • Como P(F\mid M)=0,8, então P(F^c\mid M)=1-0,8=0,2=\tfrac{1}{5}.
  • Como P(F\mid R)=0,4, então P(F^c\mid R)=1-0,4=0,6=\tfrac{3}{5}.
  • Como P(F\mid L)=0,6, então P(F^c\mid L)=1-0,6=0,4=\tfrac{2}{5}.
Agora aplico a fórmula da probabilidade total:
P(F^c)=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{3}{5}+\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{2}{5}.
Faço as multiplicações passo a passo:
  • \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{15}.
  • \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{30}=\tfrac{1}{10}.
  • \tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{2}{30}=\tfrac{1}{15}.
Somando:
P(F^c)=\tfrac{2}{15}+\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{15}.
Coloco tudo em denominador comum 30:
P(F^c)=\tfrac{4}{30}+\tfrac{3}{30}+\tfrac{2}{30}=\tfrac{9}{30}=\tfrac{3}{10}.
Logo a resposta da parte (a) é \tfrac{3}{10} (ou 0,3).

Passo 4

Agora a parte (b): queremos P(R\mid F^c), ou seja, a probabilidade de que ele tenha ido ao rio, sabendo que não fisgou nada.
Uso a definição de probabilidade condicional (fórmula de Bayes em forma básica):
P(R\mid F^c)=\frac{P(R\cap F^c)}{P(F^c)}.
O numerador é simplesmente P(R)\,P(F^c\mid R), que já calculei parcialmente.
Calculo numérico do numerador:
P(R\cap F^c)=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{30}=\tfrac{1}{10}.
Já temos P(F^c)=\tfrac{3}{10} do Passo 3. Portanto
P(R\mid F^c)=\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{3}{10}}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação rápida e encorajamento: então, mesmo que o rio tenha a mesma probabilidade de escolha que o lago ( \tfrac{1}{6} cada), dado que não veio peixe, o rio fica mais provável do que o lago? Na verdade, no cálculo a razão veio porque o rio tem maior chance de “não fisgar” ( 0,6) comparado ao lago ( 0,4), então entre os casos sem peixe o rio contribui mais proporcionalmente. Isso é exatamente a intuição por trás de Bayes: observar um resultado (aqui, “sem peixe”) atualiza as probabilidades dos lugares.
Você está indo bem — pode usar esse mesmo procedimento em qualquer problema com caminhos mutuamente exclusivos: (1) lista as probabilidades condicionais, (2) usa a soma total para o denominador e (3) aplica a definição de condicional para a pergunta inversa.

Resposta

(a) \dfrac{3}{10}
(b) \dfrac{1}{3}

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