Todo domingo um pescador vai a um e somente um de três lugares perto de sua casa: ao mar com probabilidade
, a um rio com probabilidade
, ou a um lago. No mar ele consegue fisgar um peixe com probabilidade
; no rio e no lago essa probabilidade vale
e
, respectivamente.
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?
(a) Qual a probabilidade do pescador voltar para casa sem peixe algum?
(b) Dado que ele não fisgou peixe algum, qual é a probabilidade de que tenha ido para o rio?
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
- Probabilidade de ir ao mar:
. - Probabilidade de ir ao rio:
. - Probabilidade de ir ao lago: como as três opções são exaustivas e as duas primeiras somam
, a probabilidade restante para o lago é . - Probabilidade de fisgar peixe no mar:
. - Probabilidade de fisgar peixe no rio:
. - Probabilidade de fisgar peixe no lago:
.
Do enunciado também segue que, em cada domingo, o pescador escolhe exatamente um dos lugares e o evento “fisgar peixe” depende apenas do lugar escolhido (ou seja, usamos as probabilidades condicionais dadas).
Passo 2
Definições de eventos (para ficar claro nos cálculos):
- Seja
o evento “foi ao mar”. - Seja
o evento “foi ao rio”. - Seja
o evento “foi ao lago”. - Seja
o evento “fisgou peixe”. - Seja
o evento complementar “não fisgou peixe” (uso para ‘sem peixe’).
Agora uma ideia importante que vou usar (explico bem): quando queremos a probabilidade de um evento que pode acontecer por vários caminhos mutuamente exclusivos (aqui: ir ao mar, ao rio ou ao lago são caminhos exclusivos e cobrem todas as possibilidades), usamos a fórmula da probabilidade total. Ela diz que
Aqui
significa “probabilidade de não fisgar dado que foi ao mar” — ou seja, o complemento de
.
Explico por quê: você soma a probabilidade de cada caminho ocorrer multiplicada pela probabilidade do evento desejado nesse caminho. É como somar as chances de “ir ao mar e não fisgar” + “ir ao rio e não fisgar” + “ir ao lago e não fisgar”.
Passo 3
Calcular
,
e
:
- Como
, então . - Como
, então . - Como
, então .
Agora aplico a fórmula da probabilidade total:
Faço as multiplicações passo a passo:
-
. -
. -
.
Somando:
Coloco tudo em denominador comum
:
Logo a resposta da parte (a) é
(ou
).
Passo 4
Agora a parte (b): queremos
, ou seja, a probabilidade de que ele tenha ido ao rio, sabendo que não fisgou nada.
Uso a definição de probabilidade condicional (fórmula de Bayes em forma básica):
O numerador é simplesmente
, que já calculei parcialmente.
Calculo numérico do numerador:
Já temos
do Passo 3. Portanto
Passo 5
Interpretação rápida e encorajamento: então, mesmo que o rio tenha a mesma probabilidade de escolha que o lago (
cada), dado que não veio peixe, o rio fica mais provável do que o lago? Na verdade, no cálculo a razão veio porque o rio tem maior chance de “não fisgar” (
) comparado ao lago (
), então entre os casos sem peixe o rio contribui mais proporcionalmente. Isso é exatamente a intuição por trás de Bayes: observar um resultado (aqui, “sem peixe”) atualiza as probabilidades dos lugares.
Você está indo bem — pode usar esse mesmo procedimento em qualquer problema com caminhos mutuamente exclusivos: (1) lista as probabilidades condicionais, (2) usa a soma total para o denominador e (3) aplica a definição de condicional para a pergunta inversa.
Resposta
(a)
(b)