Uma pessoa possui 4 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Economía e 3 livros diferentes de Engenharia, que serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira.
Qual a probabilidade de que os livros de Engenharia não fiquem todos juntos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A pessoa tem 4 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Economia e 3 livros diferentes de Engenharia.
  • Todos os 10 livros serão dispostos aleatoriamente em uma prateleira (todas as ordens igualmente prováveis).
    A pergunta que precisamos responder é: qual a probabilidade de que os livros de Engenharia não fiquem todos juntos na prateleira?

Passo 2

Vamos primeiro contar o número total de maneiras possíveis de organizar os 10 livros distintos.
Quando temos n objetos distintos e queremos ordená-los, o número de ordenações é dado por \;n!\; (lê-se “ n fatorial”), onde
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdots 2 \cdot 1.
Aqui n=10, portanto o número total de arranjos possíveis é
10!.

Passo 3

É mais fácil contar o complementar: o número de arranjos em que os 3 livros de Engenharia estão todos juntos (isto é, formam um bloco contíguo). Depois subtraímos da totalidade para obter os casos em que não estão todos juntos.
Para contar os arranjos com os 3 livros de Engenharia juntos, usamos o “método do bloco”: tratamos os 3 livros de Engenharia como um único objeto composto (um bloco), mais os outros 7 livros (os 4 de Matemática e os 3 de Economia), totalizando 8 objetos distintos para organizar. O número de maneiras de ordenar esses 8 objetos é
8!.
Além disso, dentro do bloco os 3 livros de Engenharia podem permutar entre si de 3! maneiras. Portanto o número total de arranjos em que os livros de Engenharia ficam todos juntos é
8! \cdot 3!.

Passo 4

A probabilidade de que os 3 livros de Engenharia estejam todos juntos é a razão entre o número de arranjos com eles juntos e o número total de arranjos:
\frac{8!\cdot 3!}{10!}.
Agora simplificamos essa fração. Observe que
10! = 10\cdot 9 \cdot 8!,
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\frac{8!\cdot 3!}{10!}=\frac{8!\cdot 3!}{10\cdot 9 \cdot 8!}=\frac{3!}{10\cdot 9}.
Como 3!=6, temos
\frac{3!}{10\cdot 9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}.
Portanto a probabilidade de que os livros de Engenharia estejam todos juntos é \frac{1}{15}.

Passo 5

A probabilidade pedida — que os livros de Engenharia não fiquem todos juntos — é o complemento de \frac{1}{15}. Assim:
1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}.

Resposta

\frac{14}{15}

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