Todos os humanos são mortais.

Passo 1

O enunciado fornece a afirmação única: “Todos os humanos são mortais.”\n
Informações dadas:
\text{"Todos os humanos são mortais."}ã
Perguntas / objetivos que vou tratar (sem te perguntar nada): formalizar essa afirmação em linguagem simbólica, explicar o significado passo a passo, mostrar como tirar consequências particulares (por exemplo, concluir que uma pessoa específica é mortal se soubermos que ela é humana), explicar regras de inferência usadas e apontar consequências que NÃO se seguem (como a conversão da afirmação).

Passo 2

Vamos traduzir a frase para símbolos e definir as letras que usaremos.\n
Definições:
H(x)\quad\text{significa: "\(x\) é humano"}é
M(x)\quad\text{significa: "\(x\) é mortal"}é
A afirmação “Todos os humanos são mortais” é uma afirmação universal. Em notação simbólica, escrevemos:
\forall x\,(H(x)\to M(x))
Explicação minuciosa do que cada parte significa:
  • \forall x é o quantificador universal e lê-se "para todo x". Ele indica que a fórmula que vem depois vale para qualquer elemento do domínio (o conjunto de coisas sobre as quais estamos falando — normalmente “seres” ou “indivíduos”).
  • H(x)\to M(x) é uma implicação que lê-se “se x é humano, então x é mortal”. O símbolo \to representa a conexão lógica “implica”.
    Logo, \forall x\,(H(x)\to M(x)) significa literalmente: para qualquer indivíduo x, se x é humano então x é mortal.

Passo 3

Regras de inferência que vamos usar (explicadas de forma prática):
  1. Instanciação Universal (UI, universal instantiation): a partir de \forall x\,(H(x)\to M(x)) você pode obter H(t)\to M(t) para qualquer termo t concreto (por exemplo, um indivíduo específico). Em palavras: se algo vale para todo x, vale para qualquer indivíduo em particular.
  2. Modus Ponens (MP): a partir de P\to Q e de P podemos concluir Q. Em palavras: se “P implica Q” e sabemos que P é verdadeiro, então Q é verdadeiro.
    Vou mostrar como usar essas duas regras juntas para tirar uma conclusão prática.

Passo 4

Aplicando as regras a um exemplo concreto (passo a passo): suponha que queremos concluir que Sócrates é mortal, e que sabemos que Sócrates é humano.\n
Primeiro, representamos Sócrates por um termo constante, chamemos de s. Então a informação “Sócrates é humano” fica:
H(s)
Partimos da premissa universal (dada pelo enunciado):
\forall x\,(H(x)\to M(x))
Usamos Instanciação Universal (UI) substituindo x por s, obtemos:
H(s)\to M(s)
Agora temos duas fórmulas: H(s)\to M(s) e H(s). Aplicando Modus Ponens (MP) a essas duas, concluímos:
M(s)
Interpretação em palavras: dado que “todos os humanos são mortais” e que “Sócrates é humano”, podemos concluir que “Sócrates é mortal”. Esse é o típico silogismo imediato passo a passo.

Passo 5

Por que esse procedimento é válido (uma mini-aula sobre por que as regras valem):\n
  • A UI é válida porque a afirmação universal diz que a propriedade vale para qualquer elemento; tomar um elemento específico é apenas um caso particular dessa afirmação geral. Pense assim: se a regra diz “para todo carro, se o carro tem motor então o carro anda”, então essa regra também vale para “o carro A tem motor implica o carro A anda”.
  • O MP é uma regra de razão básica: se você sabe que uma condição garante uma conclusão e sabe que a condição se verifica, então a conclusão deve se verificar. Exemplo coloquial: “Se chover, a rua fica molhada” e “está chovendo” nos permite concluir “a rua está molhada”.

Passo 6

Coisas que NÃO se seguem da afirmação original (armadilhas comuns):
  1. A partir de \forall x\,(H(x)\to M(x)) NÃO podemos inferir \forall x\,(M(x)\to H(x)). Ou seja, o converso não é garantido. Exemplo concreto: muitos animais são mortais mas não são humanos; então “mortal” não implica “humano”.
  2. A partir de \forall x\,(H(x)\to M(x)) NÃO podemos, sozinho, inferir que existe algum humano. Ou seja, a afirmação universal não garante uma existência. Exemplo: “Todos os unicórnios têm chifres” ( \forall x\,(U(x)\to C(x))) não implica que existe algum unicórnio. Portanto, cuidado: \forall x P(x) não implica \exists x P(x) a menos que saibamos que o domínio não está vazio e que alguma P(t) seja verdadeira.
  3. A afirmação também não diz nada sobre indivíduos não humanos; ela só impõe uma condição sobre aqueles que são humanos.

Passo 7

Contrapositiva (útil e frequentemente usada):\n
Uma implicação P\to Q é logicamente equivalente à sua contrapositive \neg Q\to \neg P. Aplicando isso ao nosso caso:
\forall x\,(H(x)\to M(x))\quad\text{é equivalente a}\quad \forall x\,(\neg M(x)\to \neg H(x))é
Interpretação: “Se algo não é mortal, então não é humano.” Essa forma às vezes é mais prática para demonstrar que algo não pode ser humano, mostrando que seria não mortal (ou vice-versa).

Passo 8

Dicas práticas para a prova (como fazer rápido e sem erro):
  • Quando vir “todos os …” traduza imediatamente por \forall x\,(P(x)\to Q(x)) com predicados claros.
  • Se quiser aplicar a afirmação a um indivíduo, use Instanciação Universal para obter P(t)\to Q(t).
  • Se também tiver P(t), aplique Modus Ponens para obter Q(t).
  • Não inverta implicações sem justificativa; sempre cheque se tem evidência para a conversão.
  • Atente se precisam provar existência: para isso você precisa de uma premissa existencial ou de um argumento adicional.

Resposta

\forall x\,(H(x)\to M(x))
Se H(s) (Sócrates é humano) então, por UI e MP, M(s) (Sócrates é mortal).

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