- Todo aluno tem pelo menos um amigo que também estuda computação.
Passo 1
O enunciado é a frase: “Todo aluno tem pelo menos um amigo que também estuda computação.”
Informações que o enunciado dá (listadas claramente):
- Há um conjunto implícito de indivíduos chamados “alunos”.
- Para cada aluno, existe “pelo menos um” amigo desse aluno.
- Esse amigo “também estuda computação” — ou seja, além de ser amigo, essa pessoa estuda computação.
- A frase usa quantificador universal (“todo”) combinado com um quantificador existencial (“pelo menos um”).
- Não foi explicitado se um aluno pode ser considerado amigo de si mesmo; isso é uma ambiguidade que precisamos tratar na formalização.
Nada mais será decidido aqui — apenas identifiquei o que o enunciado pede e quais informações ele contém.
Passo 2
Definição das convenções que vou usar (domínio e predicados). É importante escolher isso antes de escrever a fórmula:
- Vou tomar o domínio como “todos os alunos” (ou seja, as variáveis
variam sobre alunos). - Defino o predicado
que significa " é amigo de " (com e alunos). - Defino o predicado
que significa " estuda computação ".
Obs.: Se preferires, poderia tomar o domínio como “todas as pessoas” e então acrescentar o predicado “é aluno”, mas escolher domínio = alunos simplifica a fórmula e é comum em exercícios assim.
Passo 3
Tradução direta da frase para lógica de predicados sem ainda preocupar com a possibilidade
.
A frase “Todo aluno tem pelo menos um amigo que também estuda computação” vira:
Explicação do que essa fórmula diz, palavra a palavra:
-
significa "para todo aluno ". -
significa "existe pelo menos um aluno ". -
exige que seja amigo de . -
exige que estude computação. - O
conecta as duas condições: o escolhido deve satisfazer ambas.
Passo 4
Tratamento da ambiguidade: o enunciado normalmente quer dizer “um amigo diferente do próprio aluno” (ou seja, não considerar a pessoa ela mesma como seu próprio amigo). Para garantir isso, adicionamos
à condição existencial.
A versão que impede auto-amizade é:
Por que isso importa? Em provas, se não fica claro que “amigo” exclui a própria pessoa, o examinador costuma aceitar a restrição
. É bom escrever essa desigualdade quando a frase natural sugere “outro” ou “alguém”.
Passo 5
Pequena “aula” sobre quantificadores e negação (útil para entender e provar coisas na prova):
-
lê-se “para todo , é verdadeiro”. -
lê-se “existe algum tal que é verdadeiro”.
Regras de negação que sempre aparecem em provas:
-
é logicamente equivalente a . -
é equivalente a .
Aplicando isso à nossa fórmula (sem
por enquanto), se
é
, então
Passo 6
Negação concreta da frase (útil para mostrar contraexemplo):
Começando da fórmula com
incorporado como parte de
, a negação fica — passo a passo:
- Temos
onde . - Negando:
é equivalente a . - Expandindo
por De Morgan:
- Reescrevendo de forma mais natural: existe um aluno
tal que para todo aluno , ou não é amigo de , ou não estuda computação, ou é o próprio .
Paráfrase em português simples da negação: “Existe pelo menos um aluno cujos amigos (considerando apenas amigos diferentes dele) não estudam computação” — ou, com menos pedantismo: “Há algum aluno que não tem nenhum amigo que estude computação.”
Passo 7
Exemplo concreto pequeno para ver a fórmula funcionando (isso ajuda a entender):
Considere três alunos
.
- Relações de amizade:
, , , . (ou seja, e são amigos; e são amigos; e não são amigos.) - Quem estuda computação:
é verdadeira; e são falsas.
Avaliação:
- Para
: existe com e — ok. - Para
: existe ? não ( não estuda computação ); existe ? não ( não estuda ). Mas tem amigo e não estuda, e amigo que não estuda. Então para não existe amigo que estude computação. Logo a fórmula é falsa nesse universo.
Isso mostra como identificar rapidamente um contraexemplo: basta achar um aluno sem nenhum amigo que estude computação.
Passo 8
Dicas de prova / erros comuns (rápido e prático):
- Erro comum 1: escrever somente
sem parênteses. Sem parênteses a leitura fica ambígua; sempre agrupe a parte existencial. - Erro comum 2: esquecer
quando o enunciado implica “outro amigo”. Quando o enunciado diz “um amigo”, opte por incluir salvo se houver evidência de que auto-amizade é permitida. - Erro comum 3: trocar a ordem dos quantificadores.
NÃO é equivalente a . Trocar a ordem muda totalmente o significado.
Motivação rápida sobre a ordem:
diz “cada aluno tem (talvez diferente) um amigo”, já
diria “há um único aluno
que é amigo de todos os alunos e estuda computação” — muito mais forte.
Passo 9
Resumo final do que devemos escrever na prova (forma canônica e clara). Se o enunciado não disser que uma pessoa pode ser amiga de si mesma, escreva a versão que exige amigos distintos:
Essa é a resposta que eu escreveria na prova, seguida de uma frase curta dizendo “domínio = alunos;
e
definidos como acima”, só para deixar tudo explícito.