Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Se a, b \geq 0 então
\sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2}
Esta desigualdade expressa o fato de que a média geométrica de dois números nunca excede a sua média aritmética.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a\ge0 e b\ge0, vale a desigualdade da média geométrica menor ou igual à média aritmética:
\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}.
O que vamos usar é o fato de que o quadrado de qualquer número real é não-negativo.

Passo 2

Como a\ge0 e b\ge0, podemos considerar \sqrt{a} e \sqrt{b}. Então o número
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2
é sempre não-negativo. Logo,
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2 \ge 0.

Passo 3

Expandindo o quadrado, obtemos
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^2 = a - 2\sqrt{a}\,\sqrt{b} + b = a + b - 2\sqrt{ab}.
Portanto
a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{ab} \le a + b.

Passo 4

Bastando dividir ambos os lados de 2\sqrt{ab}\le a+b por 2>0, concluímos
\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2},
que é exatamente a desigualdade que queríamos demonstrar.

Resposta

\displaystyle \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}.

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