Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Segunda desigualdade triangular:
||a|-|b|| \leq|a-b|,
para quaisquer a, b \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para provar a segunda desigualdade triangular
||a|-|b|| \leq |a - b|,
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}.
Para isso vamos usar a desigualdade triangular usual
\bigl|x+y\bigr|\le |x|+|y|
e algumas manipulações algébricas com valor absoluto.