Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Generalização da desigualdade no item (d). Se a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} são números reais não-negativos, então
\sqrt[n]{a_{1} \cdots a_{n}} \leq \frac{a_{1}+\cdots a_{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a desigualdade de médias geométrica e aritmética generalizada: dados a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\ge0, mostrar que
\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\;\le\;\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}.
O conteúdo envolve a desigualdade entre médias e usaremos, como ferramenta principal, a técnica de “mistura de variáveis” junto ao caso base n=2.

Passo 2

Mostramos primeiro o caso n=2. Dados a,b\ge0, considere o quadrado
(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\;\ge\;0.
Expandindo,
a - 2\sqrt{ab} + b \;\ge\;0 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{ab}\;\le\;a+b \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{ab}\;\le\;\frac{a+b}{2}.
Logo a desigualdade vale para n=2.

Passo 3

Agora usamos “mistura de variáveis”: suponha que entre a_{1},\dots,a_{n} existam dois elementos distintos, digamos a_{i}\neq a_{j}. Defina
M \;=\;\frac{a_{i}+a_{j}}{2}.
Se substituirmos a_{i},a_{j} por M,M, a soma a_{1}+\cdots+a_{n} não muda, mas o produto
a_{i}\,a_{j} \quad\text{é substituído por}\quad M^{2}éí
e, pelo caso n=2, temos M^{2}\ge a_{i}a_{j}. Assim, cada passo de mistura mantém a soma total e não diminui o produto total.

Passo 4

Repetindo a mistura de quaisquer pares distintos, acabamos num instante em que todos os n números são iguais a
A \;=\;\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}.
Nesse estado final, o produto é A^{n}. Como em cada etapa o produto não diminuiu, o produto inicial
\,a_{1}a_{2}\cdots a_{n} satisfaz
a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\;\le\;A^{n} =\Bigl(\tfrac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\Bigr)^{n}.
Tomando raiz n-ésima em ambos os lados,
\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}} \;\le\; \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}.

Resposta

A desigualdade
\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\;\le\;\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}
está demonstrada.

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