Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real
, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por
, por
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Generalização da desigualdade no item (d). Se
são números reais não-negativos, então
Generalização da desigualdade no item (d). Se
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade de médias geométrica e aritmética generalizada: dados
, mostrar que
O conteúdo envolve a desigualdade entre médias e usaremos, como ferramenta principal, a técnica de “mistura de variáveis” junto ao caso base
.
Passo 2
Mostramos primeiro o caso
. Dados
, considere o quadrado
Expandindo,
Logo a desigualdade vale para
.
Passo 3
Agora usamos “mistura de variáveis”: suponha que entre
existam dois elementos distintos, digamos
. Defina
Se substituirmos
por
, a soma
não muda, mas o produto
e, pelo caso
, temos
. Assim, cada passo de mistura mantém a soma total e não diminui o produto total.
Passo 4
Repetindo a mistura de quaisquer pares distintos, acabamos num instante em que todos os
números são iguais a
Nesse estado final, o produto é
. Como em cada etapa o produto não diminuiu, o produto inicial
satisfaz
Tomando raiz
-ésima em ambos os lados,
Resposta
A desigualdade
está demonstrada.