Um tópico importante em Análise são as desigualdades. Elas são usadas, entre outras coisas, nas questões de convergência, estimativas etc. Este exercício abordará algumas desigualdades importantes que surgirão em várias situações ao longo destes capítulos. Comecemos definindo módulo ou valor absoluto de um número real. Dado um número real x, define-se seu módulo ou valor absoluto, designado por |x|, por
|x|=\left\{\begin{array}{rll}x & \text { se } & x \geq 0 \\\ -x & \text { se } & x<0\end{array}\right.
Feito isso, demonstre as seguintes desigualdades.
Sejam a_{1}, \ldots, a_{n} e b_{1}, \ldots, b_{n} números reais. Demonstre a desigualdade de Cauchy-Schwarz
\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os reais a_{1},\dots,a_{n} e b_{1},\dots,b_{n}, ou seja, mostrar que
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2}\le \Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr).
Vamos usar a ideia de ver essa soma como um polinômio em uma variável real e explorar o fato de que soma de quadrados é sempre não negativa.

Passo 2

Defina, para todo t\in\mathbb{R}, a função
f(t)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(a_{i}-t\,b_{i}\bigr)^{2}.
Como cada termo \bigl(a_{i}-t\,b_{i}\bigr)^{2} é maior ou igual a zero, concluímos que
f(t)\ge 0 \quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Vamos reescrever f(t) como um polinômio de segundo grau em t. Expandindo cada quadrado,
f(t) =\sum_{i=1}^{n}\bigl(a_{i}^{2}-2t\,a_{i}b_{i}+t^{2}b_{i}^{2}\bigr) =\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2} -2t\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} +t^{2}\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}.

Passo 4

Como f(t)\ge0 para todo t, o discriminante desse polinômio em t deve ser não positivo. O discriminante é
\Delta = \bigl[-2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\bigr]^{2} -4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr) =4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2} -4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr) \le0.

Passo 5

Da condição \Delta\le0 segue
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2} \le\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr),
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Resposta

A desigualdade de Cauchy–Schwarz está demonstrada:
\boxed{\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\Bigr)^{2}\le\Bigl(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\Bigr).}

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