Um topógrafo precisa determinar a altura de um grande edifício nas proximidades do Aeroporto de Vitória. Por conta do muro que circunda o edifício, o topógrafo percebe que não terá como realizar aferições, com uma trena, da medida da distância de seu teodolito até a base do edifício, o que facilitaria seu trabalho. Sendo assim, traça a seguinte estratégia: Primeiramente ele escolhe uma posição aleatória à frente do Edifício e verifica, com seu teodolito, que o prédio está sendo visto sobe um ângulo
. Após caminhar uma distância de 130m em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo
. De posse destas informações, o topógrafo entende ser possível encontrar a altura do prédio. Se, de fato, for possível, qual é a altura desse prédio?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a altura de um edifício sabendo apenas dois ângulos de elevação (α=42° e β=79°) medidos em duas posições diferentes, distantes 130 m entre si. O conteúdo principal é trigonometria em triângulos retângulos, usando a função tangente para relacionar altura e distância horizontal.
Passo 2
Vamos chamar de A a posição inicial e de B a posição 130 m mais próxima do edifício; seja C a base e T o topo do edifício. Seja x a distância AC, então BC= x−130. Aplicamos tangente em cada posição:
Passo 3
Como ambas expressões valem h, igualamos e resolvemos para x:
Substituindo
Passo 4
Agora basta achar h usando
: