Um topógrafo precisa determinar a altura de um grande edifício nas proximidades do Aeroporto de Vitória. Por conta do muro que circunda o edifício, o topógrafo percebe que não terá como realizar aferições, com uma trena, da medida da distância de seu teodolito até a base do edifício, o que facilitaria seu trabalho. Sendo assim, traça a seguinte estratégia: Primeiramente ele escolhe uma posição aleatória à frente do Edifício e verifica, com seu teodolito, que o prédio está sendo visto sobe um ângulo alpha=42^circ. Após caminhar uma distância de 130m em direção ao prédio, ele passa a vê-lo segundo um ângulo beta=79^circ. De posse destas informações, o topógrafo entende ser possível encontrar a altura do prédio. Se, de fato, for possível, qual é a altura desse prédio?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a altura de um edifício sabendo apenas dois ângulos de elevação (α=42° e β=79°) medidos em duas posições diferentes, distantes 130 m entre si. O conteúdo principal é trigonometria em triângulos retângulos, usando a função tangente para relacionar altura e distância horizontal.

Passo 2

Vamos chamar de A a posição inicial e de B a posição 130 m mais próxima do edifício; seja C a base e T o topo do edifício. Seja x a distância AC, então BC= x−130. Aplicamos tangente em cada posição:
tan(alpha)=hx Rightarrow h = xtan(alpha),
tan(beta)=hx-130 Rightarrow h = (x-130)tan(beta)

Passo 3

Como ambas expressões valem h, igualamos e resolvemos para x:
xtan(alpha) = (x - 130)tan(beta) xl(tan(beta)-tan(alpha))=130,tan(beta)
Substituindo x=130,tan(beta)tan(beta)-tan(alpha) e tan(42°)approx0,9004, obtemos tan(79°)approx5,1446 m.

Passo 4

Agora basta achar h usando h=xtan(42°):
happrox157,6times0,9004approx142,0 m

Resposta

happrox142,0,m

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