Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
integral0^0.2 d x1+x^6

Passo 1

A questão pede para aproximar com seis casas decimais a integral integral0^0.2dx1+x^6 usando séries de potências. O conteúdo envolve expansão em série de Taylor (ou série de potências) para 1/(1+u) e integração termo a termo.

Passo 2

Sabendo que para |u|<1 vale 11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n, basta tomar u=x^6. Como |x|<=0.2<1, temos
11+x^6=sumn=0^infty(-1)^n x^6n

Passo 3

Integramos termo a termo no intervalo de 0 a 0.2. Para cada n,
integral0^0.2x^6n,dx=[x^6n+16n+1]0^0.2=0.2^6n+16n+1
Logo,
I=integral0^0.2dx1+x^6=sumn=0^infty(-1)^n0.2^6n+16n+1

Passo 4

Para ter erro menor que 10^-6, verificamos o módulo do primeiro termo excluído. O termo de índice n=2 vale
gl|(-1)^20.2^1313gr|=0.2^1313approx6.3times10^-11<10^-6
Logo basta somar até n=1.

Passo 5

Calculamos os dois primeiros termos:
  • n=0: 0.2^11=0.2
  • n=1: -0.2^77=-0.2^77approx-1.8285714times10^-6
    Somando,
Iapprox0.2-1.8285714times10^-6=0.1999981714
Arredondando para seis casas decimais, obtemos o valor final.

Resposta

0.199998

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