Uma tora com 2 ft de diâmetro deve ser cortada de forma a gerar uma viga de seção retangular a ser utilizada como viga biapoiada. Se a tensão de flexão admissível para a madeira é \sigma_{\text {sdm }}=8 \mathrm{ksi},
*6-92 determine a largura b e a altura h necessárias para a viga suportar a maior carga possível. Quanto vale esta carga?

Passo 1

O enunciado dá uma tora de diâmetro 2 ft e pede para extrair dela uma viga de seção retangular de largura b e altura h de modo que a viga biapoiada suporte a maior carga possível limitada pela tensão admissível de flexão \sigma_{\text{sdm}}=8 ksi.
Conteúdo envolvido:
  • Geometria da seção retangular inscrita num círculo de raio 1 ft.
  • Cálculo do módulo de seção S para flexão de uma seção retangular.
  • Maximização de M_{\max}=\sigma_{\text{sdm}}\,S sob a restrição geométrica.

Passo 2

Geometricamente, a seção retangular inscrita em círculo de raio R=1 ft satisfaz
\Bigl(\tfrac{b}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{h}{2}\Bigr)^2 = 1^2
ou seja
b^2 + h^2 = 4.

Passo 3

Para uma seção retangular de base b e altura h, o módulo de seção à flexão em torno do eixo neutro horizontal é
S = \frac{b\,h^2}{6}.
Logo o momento resistente máximo é
M_{\max} = \sigma_{\text{sdm}}\;S = \sigma_{\text{sdm}}\;\frac{b\,h^2}{6}.

Passo 4

Queremos maximizar M_{\max}\propto b\,h^2 sujeito a b^2+h^2=4. Usando multiplicadores de Lagrange, definimos
f(b,h)=b\,h^2,\quad g(b,h)=b^2+h^2-4=0.
As condições \nabla f = \lambda\,\nabla g dão
  1. \partial f/\partial b = h^2 = \lambda\,(2b),
  2. \partial f/\partial h = 2b\,h = \lambda\,(2h).
    Da segunda condição, se h\neq0 então b=\lambda. Substituindo na primeira:
h^2 = 2\,b^2 \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt{2}\,b.
Juntando com b^2+h^2=4:
b^2 + 2\,b^2 = 4 \;\Longrightarrow\; 3\,b^2=4 \;\Longrightarrow\; b=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{ ft},
h=\sqrt{2}\,b = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\text{ ft} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\text{ ft}.

Passo 5

Convertendo para polegadas (pois \sigma_{\text{sdm}} está em ksi = kips/i n^{2}):
b = \frac{2}{\sqrt{3}}\times12 \approx 13{,}856\text{ in}, \qquad h = \frac{2\sqrt{6}}{3}\times12 \approx 19{,}596\text{ in}.
O módulo de seção vale
S = \frac{b\,h^2}{6} \approx \frac{13{,}856\times(19{,}596)^2}{6} \approx 887{,}3\;\text{in}^3.
Logo o momento resistente máximo é
M_{\max} = \sigma_{\text{sdm}}\;S = 8\;\text{ksi}\;\times 887{,}3\;\text{in}^3 \approx 7\,098{,}4\;\text{kip}\cdot\text{in} \approx 591{,}5\;\text{kip}\cdot\text{ft}.

Passo 6

Se a viga biapoiada estiver sujeita a uma carga concentrada P no meio do vão de comprimento L, o momento máximo é M=P\,L/4, logo
P_{\max} = \frac{4\,M_{\max}}{L}.
Sem o valor de L não dá para calcular numericamente P_{\max}, mas fica essa expressão.

Resposta

b = 2/\sqrt{3} ft \approx 1,155 ft ( \approx 13,856 in)
h = 2\sqrt{6}/3 ft \approx 1,633 ft ( \approx 19,596 in)
Momento resistente máximo
M_{\max} \approx 7\,098{,}4\;\text{kip}\cdot\text{in} \;(\approx 591{,}5\;\text{kip}\cdot\text{ft}).
Para ponto concentrado P no meio de vão L:
P_{\max} = \frac{4\,M_{\max}}{L}.

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