Uma tora com 2 ft de diâmetro deve ser cortada de forma a gerar uma viga de seção retangular a ser utilizada como viga biapoiada. Se a tensão de flexão admissível para a madeira é
,
*6-92 determine a largura
e a altura
necessárias para a viga suportar a maior carga possível. Quanto vale esta carga?
*6-92 determine a largura
Passo 1
O enunciado dá uma tora de diâmetro
ft e pede para extrair dela uma viga de seção retangular de largura
e altura
de modo que a viga biapoiada suporte a maior carga possível limitada pela tensão admissível de flexão
ksi.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Geometria da seção retangular inscrita num círculo de raio
ft. - Cálculo do módulo de seção
para flexão de uma seção retangular. - Maximização de
sob a restrição geométrica.
Passo 2
Geometricamente, a seção retangular inscrita em círculo de raio
ft satisfaz
ou seja
Passo 3
Para uma seção retangular de base
e altura
, o módulo de seção à flexão em torno do eixo neutro horizontal é
Logo o momento resistente máximo é
Passo 4
Queremos maximizar
sujeito a
. Usando multiplicadores de Lagrange, definimos
As condições
dão
-
, -
.
Da segunda condição, seentão . Substituindo na primeira:
Juntando com
:
Passo 5
Convertendo para polegadas (pois
está em ksi = kips/i
):
O módulo de seção vale
Logo o momento resistente máximo é
Passo 6
Se a viga biapoiada estiver sujeita a uma carga concentrada
no meio do vão de comprimento
, o momento máximo é
, logo
Sem o valor de
não dá para calcular numericamente
, mas fica essa expressão.
Resposta
b =
ft
ft (
in)
h = ft
ft (
in)
Momento resistente máximo
h =
Momento resistente máximo
Para ponto concentrado
no meio de vão
: